Bài tập nâng cao · Bài 61
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 61
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ 0;a \right] $, biết rằng với mọi $ x\in \left[ 0;a \right] $ ta có $ f\left ( { x } \right )>0 $ và $ f\left ( { x } \right ).f\left ( { a-x } \right )=k ^ { 2 } ,\left ( { k>0 } \right ) $. Giá trị của tích phân $ \int _{ 0 }^{ a } { \frac { { \rm{ d } }x } { k+f\left ( { x } \right ) } } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
$ I=\int _{ 0 }^{ a } { \frac { { \rm{ d } }x } { k+f\left ( { x } \right ) } } $. Đặt $ t=a-x\Rightarrow { \rm{ d } }t=-{ \rm{ d } }x $. Khi $ x=0\Rightarrow t=a;x=a\Rightarrow t=0 $.
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ a } { \frac { { \rm{ d } }t } { k+f\left ( { a-t } \right ) } }=\int _{ 0 }^{ a } { \frac { { \rm{ d } }t } { k+\frac { k ^ { 2 } } { f\left ( { t } \right ) } } }=\frac { 1 } { k }\int _{ 0 }^{ a } { \frac { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } { \left[ k+f\left ( { t } \right ) \right] } }=\frac { 1 } { k }\int _{ 0 }^{ a } { \frac { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } { k+f\left ( { x } \right ) } } $.
Suy ra $ 2I=\frac { 1 } { k }\int _{ 0 }^{ a } { \frac { k{ \rm{ d } }x } { k+f\left ( { x } \right ) } }+\frac { 1 } { k }\int _{ 0 }^{ a } { \frac { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } { k+f\left ( { x } \right ) } }=\frac { 1 } { k }\int _{ 0 }^{ a } { { \rm{ d } }x }=\frac { a } { k } $. Do đó $ I=\frac { a } { 2k } $.
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ a } { \frac { { \rm{ d } }t } { k+f\left ( { a-t } \right ) } }=\int _{ 0 }^{ a } { \frac { { \rm{ d } }t } { k+\frac { k ^ { 2 } } { f\left ( { t } \right ) } } }=\frac { 1 } { k }\int _{ 0 }^{ a } { \frac { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } { \left[ k+f\left ( { t } \right ) \right] } }=\frac { 1 } { k }\int _{ 0 }^{ a } { \frac { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } { k+f\left ( { x } \right ) } } $.
Suy ra $ 2I=\frac { 1 } { k }\int _{ 0 }^{ a } { \frac { k{ \rm{ d } }x } { k+f\left ( { x } \right ) } }+\frac { 1 } { k }\int _{ 0 }^{ a } { \frac { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } { k+f\left ( { x } \right ) } }=\frac { 1 } { k }\int _{ 0 }^{ a } { { \rm{ d } }x }=\frac { a } { k } $. Do đó $ I=\frac { a } { 2k } $.