(Chuyên Phan Bội Châu - Hà Tĩnh 2025) Một xạ thủ bắn bia, trên bia có các vòng tròn tính điểm (từ $ 5 $ đến $ 10 $) như hình vẽ. Mỗi lần bắn, xác suất xạ thủ bắn trúng vòng $ 8 $ là $ 0,25 $; trúng vòng dưới 8 (kể cả bắn trượt) là $ 0,4 $. Gọi $ P_{ 1 } ,P_{ 2 } $ lần lượt là xác suất xạ thủ đó bắn trúng vòng $ 10 $ và vòng $ 9 $ trong mỗi lần bắn. Biết rằng nếu xạ thủ đó bắn ba phát vào bia thì xác suất cả ba lần bắn trúng vòng $ 10 $ là $ 0,003375 $.

Điểm Xác suất 10 $ P_{ 1 } $ 9 $ P_{ 2 } $ 8 0,25 dưới 8 0,4 a) Đúng. Xác suất cả ba lần bắn trúng vòng $ 10 $ là: $ \left ( { P_{ 1 } } \right ) ^ { 3 } =0,003375⇒P_{ 1 } =\sqrt[3] { 0,003375 }=0,15 $ b) Sai. Ta có $ P_{ 1 } +P_{ 2 } +0,25+0,4=1⇒P_{ 2 } =1-\left ( { P_{ 1 } +0,25+0,4 } \right )=1-\left ( { 0,15+0,25+0,4 } \right )=0,2 $ c) Sai. Ta có $ 29=9+10+10 $ Điểm L1 Điểm L2 Điểm L3 Xác suất 9 10 10 $ 0,2×\left ( { 0,15 } \right ) ^ { 2 } $ 10 9 10 $ 0,2×\left ( { 0,15 } \right ) ^ { 2 } $ 10 10 9 $ 0,2×\left ( { 0,15 } \right ) ^ { 2 } $ Do đó, xác suất bắn $ 3 $ lần đạt $ 29 $ điểm là $ 3×0,2×\left ( { 0,15 } \right ) ^ { 2 } =0,0135 $. d) Đúng. Xác suất đạt ít nhất $ 28 $ điểm sau $ 3 $ lần bắn. TH1: Xác suất đạt $ 30 $ điểm là $ P\left ( { d_{ 1 } } \right )=\left ( { 0,15 } \right ) ^ { 3 } =0,003375 $. TH2: Xác suất đạt $ 29 $ điểm là $ P\left ( { d_{ 2 } } \right )=3.\left ( { 0,15 } \right ) ^ { 2 } .0,2=0,0135 $. TH3: Xác suất đạt $ 28 $ điểm Ta có $ 28=10+10+8=9+9+10 $ Xác suất đạt $ 28 $ điểm là $ P\left ( { d_{ 3 } } \right )=3×0,25×\left ( { 0,15 } \right ) ^ { 2 } +3×0,15×\left ( { 0,2 } \right ) ^ { 2 } =0,034875 $ Do đó, xác suất đạt ít nhất 28 điểm sau $ 3 $ lần bắn là $ P=P\left ( { d_{ 1 } } \right )+P\left ( { d_{ 2 } } \right )+P\left ( { d_{ 3 } } \right )=0,003375+0,0135+0,034875=0,05175 $