Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 18
Cho $a,b,c$ là các số thực lớn hơn 1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{4040}{\log_{\sqrt{bc}}a}+\frac{1010}{\log_{ac}\sqrt{b}}+\frac{8080}{3\log_{ab}\sqrt[3]{c}}$
$P=\frac{4040}{\log_{\sqrt{bc}}a}+\frac{1010}{\log_{ac}\sqrt{b}}+\frac{8080}{3\log_{ab}\sqrt[3]{c}}$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $P=\frac{4040}{\log_{\sqrt{bc}}a}+\frac{1010}{\log_{ac}\sqrt{b}}+\frac{8080}{3\log_{ab}\sqrt[3]{c}}=\frac{4040}{2\log_{bc}a}+\frac{1010}{\frac{1}{2}\log_{ac}b}+\frac{8080}{3\cdot \frac{1}{3}\log_{ab}c}$
$=2020\log_{a}bc+2020\log_{b}ac+8080\log_{c}ab$
$=2020\left( \log_{a}b+\log_{a}c \right)+2020\left( \log_{b}a+\log_{b}c \right)+8080\left( \log_{c}a+\log_{c}b \right)$
$=2020\log_{a}b+2020\log_{b}a+2020\log_{a}c+8080\log_{c}a+2020\log_{b}c+8080\log_{c}b$.
Vì $a,b,c>1$ nên các số $\log_{a}b,\log_{b}a,\log_{a}c,\log_{c}a,\log_{b}c,\log_{c}b$ đều lớn hơn 0.
Khi đó, ta có:
$\begin{array}{l} 2020\log_{a}b+2020\log_{b}a\geq 2\sqrt{2020\log_{a}b\cdot 2020\log_{b}a}=4040 \\ 2020\log_{a}c+8080\log_{c}a\geq 2\sqrt{2020\log_{a}c\cdot 8080\log_{c}a}=8080 \\ 2020\log_{b}c+8080\log_{c}b\geq 2\sqrt{2020\log_{b}c\cdot 8080\log_{c}b}=8080 \end{array}$
Suy ra $P\geq 4040+8080+8080=20200$.
$=2020\log_{a}bc+2020\log_{b}ac+8080\log_{c}ab$
$=2020\left( \log_{a}b+\log_{a}c \right)+2020\left( \log_{b}a+\log_{b}c \right)+8080\left( \log_{c}a+\log_{c}b \right)$
$=2020\log_{a}b+2020\log_{b}a+2020\log_{a}c+8080\log_{c}a+2020\log_{b}c+8080\log_{c}b$.
Vì $a,b,c>1$ nên các số $\log_{a}b,\log_{b}a,\log_{a}c,\log_{c}a,\log_{b}c,\log_{c}b$ đều lớn hơn 0.
Khi đó, ta có:
$\begin{array}{l} 2020\log_{a}b+2020\log_{b}a\geq 2\sqrt{2020\log_{a}b\cdot 2020\log_{b}a}=4040 \\ 2020\log_{a}c+8080\log_{c}a\geq 2\sqrt{2020\log_{a}c\cdot 8080\log_{c}a}=8080 \\ 2020\log_{b}c+8080\log_{c}b\geq 2\sqrt{2020\log_{b}c\cdot 8080\log_{c}b}=8080 \end{array}$
Suy ra $P\geq 4040+8080+8080=20200$.