Bài tập nâng cao · Bài 17
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 17
Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $0<a<1;\frac{1}{8}<b<1;\frac{3}{8}<c<1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{3}{16}\log_{a}\left( \frac{b}{2}-\frac{1}{16} \right)+\frac{1}{4}\log_{b}\left( \frac{c}{2}-\frac{3}{16} \right)+\frac{1}{3}\log_{c}a.$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\frac{b}{2}-\frac{1}{16}=\frac{8b-1}{16}=\frac{1}{4}\cdot \frac{8b-1}{4}\leq \left( \frac{2b}{2} \right)^{2}=b^{2}$;
$\frac{c}{2}-\frac{3}{16}=\frac{8c-3}{16}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{8c-3}{2}\leq \left( \frac{4c}{4} \right)^{4}=c^{4}$. Suy ra
$P=\frac{3}{16}\log_{a}\left( \frac{b}{2}-\frac{1}{16} \right)+\frac{1}{4}\log_{b}\left( \frac{c}{2}-\frac{3}{16} \right)+\frac{1}{3}\log_{c}a$
$\geq \frac{3}{16}\log_{a}b^{2}+\frac{1}{4}\log_{b}c^{4}+\frac{1}{3}\log_{c}a$
$\geq 3\cdot \sqrt[3]{\frac{2}{16}}=\frac{3}{2}$.
Vậy $\min P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{\sqrt{2}}{4} \\ b=\frac{1}{4} \\ c=\frac{1}{2} \end{array} \right.$.
$\frac{c}{2}-\frac{3}{16}=\frac{8c-3}{16}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{8c-3}{2}\leq \left( \frac{4c}{4} \right)^{4}=c^{4}$. Suy ra
$P=\frac{3}{16}\log_{a}\left( \frac{b}{2}-\frac{1}{16} \right)+\frac{1}{4}\log_{b}\left( \frac{c}{2}-\frac{3}{16} \right)+\frac{1}{3}\log_{c}a$
$\geq \frac{3}{16}\log_{a}b^{2}+\frac{1}{4}\log_{b}c^{4}+\frac{1}{3}\log_{c}a$
$\geq 3\cdot \sqrt[3]{\frac{2}{16}}=\frac{3}{2}$.
Vậy $\min P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{\sqrt{2}}{4} \\ b=\frac{1}{4} \\ c=\frac{1}{2} \end{array} \right.$.