Bài tập nâng cao · Bài 16
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 16
Cho các số thực $a,b$ thay đổi, thoả mãn $a>\frac{1}{3},b>1$.
Khi biểu thức $P=\log_{3a}b+\log_{b}\left( a^{4}-9a^{2}+81 \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng $a+b$ bằng bao nhiêu?
Khi biểu thức $P=\log_{3a}b+\log_{b}\left( a^{4}-9a^{2}+81 \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng $a+b$ bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Do $a^{4}-9a^{2}+81\geq 9a^{2}\Leftrightarrow \left( a^{2}-9 \right)^{2}\geq 0$ đúng $\forall a>\frac{1}{3}$. Dấu bằng xảy ra khi $a=3$.
Suy ra $P\geq \log_{3a}b+\log_{b}(3a)^{2}=\log_{3a}b+2\log_{b}3a\geq 2\sqrt{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} a=3 \\ \log_{3a}b=2\log_{b}3a \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=3 \\ b=9^{\sqrt{2}} \end{array} \right.$.
Vậy khi $P$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a+b=3+9^{\sqrt{2}}$.
Suy ra $P\geq \log_{3a}b+\log_{b}(3a)^{2}=\log_{3a}b+2\log_{b}3a\geq 2\sqrt{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} a=3 \\ \log_{3a}b=2\log_{b}3a \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=3 \\ b=9^{\sqrt{2}} \end{array} \right.$.
Vậy khi $P$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a+b=3+9^{\sqrt{2}}$.