Bài tập nâng cao · Bài 15
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 15
Cho $a>0,b>0$ thoả mãn $\log_{4a+5b+1}\left( 16a^{2}+b^{2}+1 \right)+\log_{8ab+1}(4a+5b+1)=2$. Tính giá trị của $a+2b$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $a>0,b>0$ nên $\left\{ \begin{array}{l} 4a+5b+1>1 \\ 8ab+1>1 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log_{4a+5b+1}\left( 16a^{2}+b^{2}+1 \right)>0 \\ \log_{8ab+1}(4a+5b+1)>0 \end{array} \right.$
$P=\log_{4a+5b+1}\left( 16a^{2}+b^{2}+1 \right)+\log_{8ab+1}(4a+5b+1)\geq 2\sqrt{\log_{4a+5b+1}\left( 16a^{2}+b^{2}+1 \right)\cdot \log_{8ab+1}(4a+5b+1)}=2\sqrt{\log_{8ab+1}\left( 16a^{2}+b^{2}+1 \right)}$
Mặt khác: $16a^{2}+b^{2}+1\geq 2\sqrt{16a^{2}b^{2}}+1=8ab+1\Leftrightarrow P\geq 2\sqrt{\log_{8ab+1}(8ab+1)}=2$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l} 16a^{2}=b^{2} \\ 8ab+1=4a+5b+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a=b \\ 2b^{2}+1=6b+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{3}{4} \\ b=3 \end{array} \right.$
Do đó $a+2b=\frac{27}{4}$.
$P=\log_{4a+5b+1}\left( 16a^{2}+b^{2}+1 \right)+\log_{8ab+1}(4a+5b+1)\geq 2\sqrt{\log_{4a+5b+1}\left( 16a^{2}+b^{2}+1 \right)\cdot \log_{8ab+1}(4a+5b+1)}=2\sqrt{\log_{8ab+1}\left( 16a^{2}+b^{2}+1 \right)}$
Mặt khác: $16a^{2}+b^{2}+1\geq 2\sqrt{16a^{2}b^{2}}+1=8ab+1\Leftrightarrow P\geq 2\sqrt{\log_{8ab+1}(8ab+1)}=2$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l} 16a^{2}=b^{2} \\ 8ab+1=4a+5b+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a=b \\ 2b^{2}+1=6b+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{3}{4} \\ b=3 \end{array} \right.$
Do đó $a+2b=\frac{27}{4}$.