Bài tập nâng cao · Bài 50
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 50
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình là: $d_{1}:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{1},d_{2}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-2z+5=0$. Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng $(P)$ và cắt $d_{1},d_{2}$ lần lượt tại $A,B$ sao cho độ dài $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất ?
Xem lời giải
Lời giải
Đầu tiên ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} A=d∩d_{1}\\ B=d∩d_{2}\\ \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} A(-1+a;-2+2a;a) \\ B(2+2b;1+b;1+b) \\ \end{array} \Rightarrow \overset\rightarrow { AB }=(3+2b-a;3+b-2a;1+b-a) \end{array} \right. \end{array} \right.$
(1)
Mặt phẳng $(P):x+y-2z+5=0$ có vector pháp tuyến $n=(1;1;-2)$ cùng với $AB‖(P)$ nên ta có: $\overset\rightarrow { AB }\cdot n=0\Leftrightarrow (3+2b-a)+(3+b-2a)-2(1+b-a)=0\Leftrightarrow a=b+4$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra: $AB^{2} =(3+2b-a)^{2} +(3+b-2a)^{2} +(1+b-a)^{2} =2b^{2} +8b+35=2(b+2)^{2} +27\geq 27$
Khi đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $b=-2\Rightarrow a=2\Rightarrow \overset\rightarrow { AB }=(-3;-3;-3)=k(1;1;1)$
Như vậy phương trình đường thẳng $AB$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}$.
(1)
Mặt phẳng $(P):x+y-2z+5=0$ có vector pháp tuyến $n=(1;1;-2)$ cùng với $AB‖(P)$ nên ta có: $\overset\rightarrow { AB }\cdot n=0\Leftrightarrow (3+2b-a)+(3+b-2a)-2(1+b-a)=0\Leftrightarrow a=b+4$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra: $AB^{2} =(3+2b-a)^{2} +(3+b-2a)^{2} +(1+b-a)^{2} =2b^{2} +8b+35=2(b+2)^{2} +27\geq 27$
Khi đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $b=-2\Rightarrow a=2\Rightarrow \overset\rightarrow { AB }=(-3;-3;-3)=k(1;1;1)$
Như vậy phương trình đường thẳng $AB$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}$.