Bài tập nâng cao · Bài 49
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 49
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+t \\ y=1 \\ z=t \\ \end{array} \end{array} \right.$ và mặt phẳng $(P):2x-z+3=0$. Biết đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $O(0;0;0)$ gốc toạ độ, có 1 vectơ chỉ phương $u=(1;a;b)$, vuông góc với đường thẳng $d$ và hợp với mặt phẳng $(P)$ một góc lớn nhất. Hỏi điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $u=(1;a;b)$.
Mà đường thẳng $d$ có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+t \\ y=1 \\ z=t \\ \end{array} \end{array} \right.$ nên suy ra một vectơ chỉ phương của $d$ là $v=(1;0;1)$.
Ta lại có $\Delta \perp d\Rightarrow u\perp v\Rightarrow u\cdot v=0\Rightarrow 1+b=0\Rightarrow b=-1$. Suy ra $u=(1;a;-1)$.
Mặt khác, mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(P):2x-z+3=0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $n=(2;0;-1)$.
Giả sử $\Delta$ hợp với mặt phẳng $(P)$ một góc $\varphi =(\Delta ,(P))$ thì
$\sin\varphi=\left|\cos(\vec u,\vec n)\right|=\frac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}=\frac{3}{\sqrt{5}\sqrt{2+a^2}}=\frac{3}{\sqrt{5(2+a^2)}}$
Mà $\sqrt{2+a^{2} }\geq \sqrt{2}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2+a^{2} } }\leq \frac{1}{\sqrt{2} }\Rightarrow \sin \varphi =\frac{3}{\sqrt{5\left( 2+a^{2} \right) } }\leq \frac{3}{\sqrt{10} }$ khi $a=0$.
Vì $\varphi$ lớn nhất khi $\sin \varphi$ lớn nhất do đó $\varphi _{max}$ khi $a=0$.
Suy ra $u=(1;0;-1)$. Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=s \\ y=0 \\ z=-s \\ \end{array} \end{array} \right.$. Suy ra điểm $M(2;0;-2)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.
Mà đường thẳng $d$ có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+t \\ y=1 \\ z=t \\ \end{array} \end{array} \right.$ nên suy ra một vectơ chỉ phương của $d$ là $v=(1;0;1)$.
Ta lại có $\Delta \perp d\Rightarrow u\perp v\Rightarrow u\cdot v=0\Rightarrow 1+b=0\Rightarrow b=-1$. Suy ra $u=(1;a;-1)$.
Mặt khác, mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(P):2x-z+3=0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $n=(2;0;-1)$.
Giả sử $\Delta$ hợp với mặt phẳng $(P)$ một góc $\varphi =(\Delta ,(P))$ thì
$\sin\varphi=\left|\cos(\vec u,\vec n)\right|=\frac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}=\frac{3}{\sqrt{5}\sqrt{2+a^2}}=\frac{3}{\sqrt{5(2+a^2)}}$
Mà $\sqrt{2+a^{2} }\geq \sqrt{2}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2+a^{2} } }\leq \frac{1}{\sqrt{2} }\Rightarrow \sin \varphi =\frac{3}{\sqrt{5\left( 2+a^{2} \right) } }\leq \frac{3}{\sqrt{10} }$ khi $a=0$.
Vì $\varphi$ lớn nhất khi $\sin \varphi$ lớn nhất do đó $\varphi _{max}$ khi $a=0$.
Suy ra $u=(1;0;-1)$. Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=s \\ y=0 \\ z=-s \\ \end{array} \end{array} \right.$. Suy ra điểm $M(2;0;-2)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.