Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 51

Gọi $M=d∩\Delta _{1}\Rightarrow M\left( 1+2t;2+t;-2-t \right)$
$d$ có véctơ chỉ phương $u_{d}=\overset\rightarrow { AM }=\left( 2t+2;t+2;-1-t \right)$.
$\Delta _{2}$ có véctơ chỉ phương $u_{2}=\left( -1;2;2 \right)$.
$\cos \left( d;\Delta _{2}\right)=\frac{\left| u_{d}.u_{2}\right|}{\left| u_{d}\right|\left| u_{2}\right| }=\frac{\left| -2t-2+2t+4-2-2t \right|}{\sqrt{\left( 2t+2 \right)^{2} +\left( t+2 \right)^{2} +\left( -1-t \right)^{2} }\sqrt{\left( -1 \right)^{2} +2^{2} +2^{2} } }=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{t^{2}}{6t^{2} +14t+9 } }$.
Để góc giữa $d$ và $\Delta _{2}$ là nhỏ nhất khi $\cos \left( d;\Delta _{2}\right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow f\left( t \right)=\frac{t^{2}}{6t^{2} +14t+9 }$ đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: $f'\left( t \right)=\frac{14t^{2} +18t}{\left( 6t^{2} +14t+9 \right)^{2} }=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} t=0 \\ t=-\frac{9}{7} \\ \end{array} \right.$
Ta có bảng biến thiên:

$\max f(t)=\frac{9}{5}\Leftrightarrow t=-\frac{9}{7}\Rightarrow u_{d}=\left( -\frac{4}{7};\frac{5}{7};\frac{2}{7} \right)$
Đường thẳng $d$ qua $A\left( -1;0;-1 \right)$ có $u=\left( 4;-5;-2 \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-1+4t \\ y=-5t\ \ \ \ \ \\ z=-1-2t \\ \end{array} \end{array} \right.$.
Với $t=2\Rightarrow M\left( 7;-10;-5 \right)\in d$.