Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( -2;-2;1 \right)$, $A\left( 1;2;-3 \right)$ và đường thẳng $d$: $\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$. Tìm một véc tơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u }$ của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, vuông góc với đường thẳng $d$, đồng thời cách điểm $A$ một khoảng nhỏ nhất.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD21. PHUONG TRINH DUONG THANG/F. BAI TAP NANG CAO/image1691.png] Gọi $\left( P ight)$ là mặt phẳng đi quan $M$ và vuông góc với $d$. Khi đó $\left( P ight)$ chứa $\Delta$. Mặt phẳng $\left( P ight)$ qua $M\left( -2;-2;1 ight)$ có VTPT $\oversetightarrow { n }=\oversetightarrow { u_{d}}=\left( 2;2;-1 ight)$ có phương trình: $2x+2y-z+9=0$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $\left( P ight)$ và đường thẳng $\Delta$. Khi đó, $AK\geq AH$. Như vậy $AK$ nhỏ nhất khi $K≡H$. Hơn nữa, $AH$ đi qua $A$ và có VTCP $\oversetightarrow { u }_{d}=\left( 2;2;-1 ight)$ nên có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l} x=1+2t \ y=2+2t \ z=-3-t \end{array} ight.$. Suy ra $H\left( 1+2t;2+2t;-3-t ight)$. Mặt khác, $H\in \left( P ight)$ nên $2\left( 1+2t ight)+2\left( 2+2t ight)-\left( -3-t ight)+9=0$. Suy ra $t=-2$. Suy ra $H\left( -3;-2;-1 ight)$. Vậy $\oversetightarrow { u }=\oversetightarrow { HM }=\left( 1;0;2 ight)$.

Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 52