Bài tập nâng cao · Bài 53
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 53
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$; $d_{2}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-2}{-2}$. Gọi $d$ là đường thẳng song song với mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-2022=0$ và $d$ cắt $d_{1},\,\,d_{2}$ lần lượt tại $A,\,\,B$ sao cho độ dài đoạn $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $d$ là
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình tham số của $d_{1}$: $\left\{ \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=t \\ z=-2-t \end{array} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Phương trình tham số của $d_{2}$:$\left\{ \begin{array}{l} x=1+s \\ y=-2+3s \\ z=2-2s \end{array} \right.\left( s\in \mathbb{R} \right)$
Gọi $A=d∩d_{1}\Rightarrow A\in d_{1}\Rightarrow A\left( 1+2t\,;t;-2-t\, \right)$. $B=d∩d_{2}\Rightarrow B\in d_{2}\Rightarrow B\left( 1+s\,;-2+3s\,;2-2s \right)$.
Suy ra: $\overset\rightarrow { AB }=\left( s-2t\,;3s-t-2\,;-2s+t+4 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n_{P}}=\left( 1\,;1\,;1 \right)$.
Ta có: $d\, \parallel \,\left( P \right)\Rightarrow \overset\rightarrow { AB }\perp \overset\rightarrow { n_{P}}\Leftrightarrow \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { n_{P}}=0$
$\Leftrightarrow \left( s-2t \right)+\left( 3s-t-2 \right)+\left( -2s+t+4 \right)=0\Leftrightarrow s=t-1$.
Suy ra: $\overset\rightarrow { AB }=\left( -t-1;{ \rm{ 2 } }{ \rm{ t } }-5;6-t \right)$.
$\Rightarrow AB=\sqrt{{ \rm{ 6} }{ \rm{ t } }^{2} -30t+62 }=\sqrt{6\left( t-\frac{5}{2} \right)^{2} +\frac{49}{2} }\geq \frac{7\sqrt{2}}{2}\forall t\in \mathbb{R}$.
Khi đó: $ABmin=\frac{7\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\Rightarrow \overset\rightarrow { AB }=\left( -\frac{7}{2}\,;0;\frac{7}{2} \right)$ và $A\left( 6\,;\frac{5}{2}\,;-\frac{9}{2} \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=6-t \\ y=\frac{5}{2}+t \\ z=-\frac{9}{2}+t \end{array} \right.$.
Phương trình tham số của $d_{2}$:$\left\{ \begin{array}{l} x=1+s \\ y=-2+3s \\ z=2-2s \end{array} \right.\left( s\in \mathbb{R} \right)$
Gọi $A=d∩d_{1}\Rightarrow A\in d_{1}\Rightarrow A\left( 1+2t\,;t;-2-t\, \right)$. $B=d∩d_{2}\Rightarrow B\in d_{2}\Rightarrow B\left( 1+s\,;-2+3s\,;2-2s \right)$.
Suy ra: $\overset\rightarrow { AB }=\left( s-2t\,;3s-t-2\,;-2s+t+4 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n_{P}}=\left( 1\,;1\,;1 \right)$.
Ta có: $d\, \parallel \,\left( P \right)\Rightarrow \overset\rightarrow { AB }\perp \overset\rightarrow { n_{P}}\Leftrightarrow \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { n_{P}}=0$
$\Leftrightarrow \left( s-2t \right)+\left( 3s-t-2 \right)+\left( -2s+t+4 \right)=0\Leftrightarrow s=t-1$.
Suy ra: $\overset\rightarrow { AB }=\left( -t-1;{ \rm{ 2 } }{ \rm{ t } }-5;6-t \right)$.
$\Rightarrow AB=\sqrt{{ \rm{ 6} }{ \rm{ t } }^{2} -30t+62 }=\sqrt{6\left( t-\frac{5}{2} \right)^{2} +\frac{49}{2} }\geq \frac{7\sqrt{2}}{2}\forall t\in \mathbb{R}$.
Khi đó: $ABmin=\frac{7\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\Rightarrow \overset\rightarrow { AB }=\left( -\frac{7}{2}\,;0;\frac{7}{2} \right)$ và $A\left( 6\,;\frac{5}{2}\,;-\frac{9}{2} \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=6-t \\ y=\frac{5}{2}+t \\ z=-\frac{9}{2}+t \end{array} \right.$.