Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y+z+9=0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}$. Xét đường thẳng $d'$ đi qua điểm $A\left( 1;1;1 \right)$ và song song với $\left( \alpha \right)$. Khi đường thẳng $d'$ tạo với $d$ một góc nhỏ nhất thì $d'$ đi qua điểm nào dưới đây?

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Nhận thấy $d$ đi qua $A\left( 1;1;1 ight)$ nên $d'$ luôn cắt $d$ tại $A\left( 1;1;1 ight)$. Gọi $\left( \beta ight)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và song song với $\left( \alpha ight)$ thì $d'\subset \left( \beta ight):x+y+z-3=0$. [IMAGE:question_images/12-CD21. PHUONG TRINH DUONG THANG/F. BAI TAP NANG CAO/image1756.png] Lấy điểm $B\left( 0;-1;2 ight)\in d$, gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $B$ lên $\left( \beta ight)$ và $d'$ thì $BH\leq BK$. Suy ra $\sin \widehat { BAH }\leq \sin \widehat { BAK }$, nên góc giữa $d'$ và $d$ là $\widehat { BAK }$ có giá trị nhỏ nhất khi $K≡H$. Phương trình đường thẳng $BH:\left\{ \begin{array}{l} x=t \ y=-1+t \ z=2+t \end{array} ight.$. Tọa độ $H$ thỏa $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z-3=0 \ x=t \ y=-1+t \ z=2+t \end{array} ight.\Rightarrow H\left( \frac{2}{3};-\frac{1}{3};\frac{8}{3} ight).$ Khi đó $d'$ là đường thẳng đi qua $A$ và $H$ có phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-1}{-5}$ $\Rightarrow N\left( 2;5;-4 ight)\in d'.$

Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 54