Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 55
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-2;1;0),B(4;4;-3),C(2;3;-2)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{-1}$.Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho $A,B,C$ ở cùng phía đối với mặt phẳng $(\alpha )$. Gọi $d_{1},d_{2},d_{3}$ lần lượt là khoảng cách từ $A,B,C$ đến $(\alpha )$. Tìm giá trị lớn nhất của $T=d_{1}+2d_{2}+3d_{3}$.
Xem lời giải
Lời giải
$\overset\rightarrow { AC }=(4;2;-2)=2(2;1;-1);\overset\rightarrow { AB }=(6;3;-3)=3(2;1;-1)$
$\Rightarrow A,C,B$ theo thứ tự thẳng hàng và $\overset\rightarrow { AC }=\frac{2}{3}\overset\rightarrow { AB }$
Đường thẳng $d$ đi qua $P(1;1;1)$ có véc tơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{d}}=(1;-2;-1)$
$\overset\rightarrow { PC }=(1;2;-3)$ và có $\overset\rightarrow { PC }\cdot \overset\rightarrow { u_{d}}=0$ nên $P$ là hình chiếu của $C$ trên $d$
Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $C$ thay đổi và luôn song song với $(\alpha )$, $M,N,I$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C$ lên mặt phẳng $(\alpha )$, $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ lên mặt phẳng $(P)$
Ta có $CI=d((P),(\alpha ))=d(C;(\alpha ))=CI\leq CP=\sqrt{14}$
$T=d_{1}+2d_{2}+3d_{3}=AM+2BN+3CI=CI-AH+2(CI+BK)+3CI$
$T=6CI-(AH-2BK)=6CI\leq 6CP=6\sqrt{14}$
$T_{max}=6\sqrt{14}$ xảy ra khi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa $P$ nhận $\overset\rightarrow { PC }=(1;2;-3)$ làm véc tơ pháp tuyến $(\alpha ):x+2y-3z=0$
