Bài tập nâng cao · Bài 56
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 56
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z+1=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $E(-2;1;-2)$ song song với $(P)$ đồng thời tạo với $d$ góc bé nhất. Biết rằng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $u=(m;n;1)$. Tính $T=m^{2} -n^{2}$.
Xem lời giải
Lời giải
Lấy $M(2;-3;1)\in d$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng đi qua $E$ và song song với $(P)\Rightarrow (Q):2x-y+2z+9=0$.
Theo đề bài ta có đường thẳng $d$ đi qua $E$ và cắt mặt phẳng $(P)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên đường thẳng $d$ và $(Q)$. Tọa độ điểm $K$ là nghiệm hệ phương trình.
$\left\{ \begin{array}{l} x=2+2t \\ y=-3-t \\ z=1+2t \\ 2x-y+2z+9=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2(2+2t)-(-3-t)+2(1+2t)+9=0 \Leftrightarrow t=-2 \Rightarrow K(-2;-1;-3)$
Gọi $\alpha =(d;\Delta )\Rightarrow \sin \alpha =\frac{MH}{ME}\geq \frac{MK}{ME}\Rightarrow \alpha$ bé nhất $H≡K$.
$\Rightarrow u=(0;2;1)\Rightarrow T=4{ \rm{ . } }$
Theo đề bài ta có đường thẳng $d$ đi qua $E$ và cắt mặt phẳng $(P)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên đường thẳng $d$ và $(Q)$. Tọa độ điểm $K$ là nghiệm hệ phương trình.
$\left\{ \begin{array}{l} x=2+2t \\ y=-3-t \\ z=1+2t \\ 2x-y+2z+9=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2(2+2t)-(-3-t)+2(1+2t)+9=0 \Leftrightarrow t=-2 \Rightarrow K(-2;-1;-3)$
Gọi $\alpha =(d;\Delta )\Rightarrow \sin \alpha =\frac{MH}{ME}\geq \frac{MK}{ME}\Rightarrow \alpha$ bé nhất $H≡K$.
$\Rightarrow u=(0;2;1)\Rightarrow T=4{ \rm{ . } }$