Bài tập nâng cao · Bài 57
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 57
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-3}{1}$. Giả sử $d΄$ là đường thẳng song song với $d,d΄$ cách $d$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ và $d΄$ cách đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{1}$ một khoảng nhỏ nhất. Khi đó $d΄$ đi qua điểm
Xem lời giải
Lời giải
Viết phương trình đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của $d$ và $\Delta$.
Lấy $A(3-2a;3+a;3+a)\in d\quad$ và $\quad B(2+b;-2b;1+b)\in \Delta \quad$ suy $\quad$ ra $\overset\rightarrow { AB }=(b+2a-1;-2b-a-3;b-a-2)$. Vì $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AB\perp d \\ AB\perp \Delta \\ \end{array} \end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AB }\cdot u_{d}=0 \\ \overset\rightarrow { AB }\cdot u_{ \Delta } =0 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} -6a-3b=3 \\ 3a+6b=-3 \\ \end{array} \Leftrightarrow a=b=-\frac{1}{3} \end{array} \right. \end{array} \right.$.
Suy ra $A\left( \frac{11}{3};\frac{8}{3};\frac{8}{3} \right)$ và $B\left( \frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right)$ suy ra $AB=2\sqrt{3}$.
Đường thẳng $d΄$ song song với $d,d΄$ cách $d$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ và $d΄$ cách đường thẳng $\Delta$ một khoảng nhỏ nhất khi và chỉ khi $d΄$ đi qua trung điểm $I\left( \frac{8}{3};\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right)$ của $AB$.
Do đó phương trình đường thẳng $d΄:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=\frac{8}{3}-2t \\ y=\frac{5}{3}+t \\ z=\frac{5}{3}+t \\ \end{array} \end{array} \right.$. Chọn $t=\frac{4}{3}$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=0 \\ y=3 \\ z=3. \\ \end{array} \end{array} \right.$
Lấy $A(3-2a;3+a;3+a)\in d\quad$ và $\quad B(2+b;-2b;1+b)\in \Delta \quad$ suy $\quad$ ra $\overset\rightarrow { AB }=(b+2a-1;-2b-a-3;b-a-2)$. Vì $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AB\perp d \\ AB\perp \Delta \\ \end{array} \end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AB }\cdot u_{d}=0 \\ \overset\rightarrow { AB }\cdot u_{ \Delta } =0 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} -6a-3b=3 \\ 3a+6b=-3 \\ \end{array} \Leftrightarrow a=b=-\frac{1}{3} \end{array} \right. \end{array} \right.$.
Suy ra $A\left( \frac{11}{3};\frac{8}{3};\frac{8}{3} \right)$ và $B\left( \frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right)$ suy ra $AB=2\sqrt{3}$.
Đường thẳng $d΄$ song song với $d,d΄$ cách $d$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ và $d΄$ cách đường thẳng $\Delta$ một khoảng nhỏ nhất khi và chỉ khi $d΄$ đi qua trung điểm $I\left( \frac{8}{3};\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right)$ của $AB$.
Do đó phương trình đường thẳng $d΄:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=\frac{8}{3}-2t \\ y=\frac{5}{3}+t \\ z=\frac{5}{3}+t \\ \end{array} \end{array} \right.$. Chọn $t=\frac{4}{3}$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=0 \\ y=3 \\ z=3. \\ \end{array} \end{array} \right.$