Bài tập nâng cao · Bài 58
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 58
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1}$ và mặt phẳng $(P):2x+y+z-8=0$. Tam giác $ABC$ có $A(-1;2;2)$ và trọng tâm $G$ nằm trên $d$. Khi các đỉnh $B,C$ di động trên $(P)$ sao cho khoảng cách từ $A$ tới đường thẳng $BC$ đạt giá trị lớn nhất, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. $G\in d\Rightarrow G(2a-1;a+2;-a-2)$.
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overset\rightarrow { AI }=\frac{3}{2}\overset\rightarrow { AG }=\left( 3a;\frac{3}{2}a;-\frac{3}{2}(a+4) \right)$.
Suy ra: $I\left( 3a-1;\frac{3}{2}a+2;-\frac{3}{2}a-4 \right)$.
$I\in (P)\Rightarrow 2(3a-1)+\frac{3}{2}a+2-\frac{3}{2}a-12=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow I(5;5;-7)$.
Vậy đường thẳng $BC$ luôn đi qua điểm $I$ cố định. Do đó $d(A,BC)$ lớn nhất khi $AI\perp BC$.
Khi đó $BC\perp AI,BC\subset (P)$ nên $BC$ có vectơ chỉ phương là $\left[ \overset\rightarrow { AI },\overset\rightarrow { n_{ (P) } } \right]=(12;-24;0)$.