Bài tập nâng cao · Bài 59
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 59
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{2}$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1}$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc với nhau, cùng chứa $d$ và cắt $\Delta$ tại $M,N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất bằng.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $u_{d}=(1;3;2),u_{\Delta}=(1;-1;1)\Rightarrow u_{d}\cdot u_{\Delta}=0\Rightarrow d\perp \Delta$.
Gọi $A=(\alpha)∩d$ với $(\alpha)$ chứa $\Delta$ và vuông góc với $d$. Khi đó, ta có $MAN=90^{°}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\Delta\Rightarrow AH=d(d,\Delta)$.
Ta có
$\left\{ \begin{array}{l} MN^{2}=AM^{2}+AN^{2} \\ \frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}} \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} MN^{2}=AM^{2}+AN^{2} \\ \frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}\geq \frac{4}{AM^{2}+AN^{2}}=\frac{4}{MN^{2}} \end{array} \right.\Rightarrow MN\geq 2AH$.
$E(1;1;0)\in d,F(2;1;1)\Rightarrow \overset\rightarrow { EF }=(1;0;1)$.
$\left[ u_{d},u_{\Delta} \right]=(5;1;-4)\Rightarrow AH=\frac{\left|\left[ u_{d},u_{\Delta} \right]\cdot \overset\rightarrow { EF }\right|}{\left|\left[ u_{d},u_{\Delta} \right]\right|}=\frac{1}{\sqrt{42}}=\frac{\sqrt{42}}{42}$.
$\Rightarrow MN_{min}=2AH=\frac{\sqrt{42}}{21}$.