Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A(2;-1;-2)$ và đường thẳng $(d)$: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1}$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$, song song với đường thẳng $(d)$ và khoảng cách từ $(d)$ tới $(P)$ là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD21. PHUONG TRINH DUONG THANG/F. BAI TAP NANG CAO/image1927.png] Gọi $H(1+t;1-t;1+t)$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng $d$. Ta có:$(d)$ có 1 véc tơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{d}}=(1;-1;1),\overset\rightarrow { AH }=(t-1;2-t;t+3)$. Khi đó:$\overset\rightarrow { AH }\perp \overset\rightarrow { u_{d}}\Rightarrow \overset\rightarrow { AH }\cdot \overset\rightarrow { u_{d}}=0\Leftrightarrow 1.(t-1)-1.(2-t)+1.(t+3)=0\Leftrightarrow 3t=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow H(1;1;1)$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $(P)$. Ta có: $d(d;(P))=d(H;(P))=HK\leq AH\Rightarrow HK_{ { \rm{ m } }{ \rm{ a } }{ \rm{ x } } } =AH\Leftrightarrow AH\perp (P)\Rightarrow (P)$ nhận $\overset\rightarrow { AH }=(-1;2;3)$ làm véc tơ pháp tuyến. Giả sử mặt phẳng $(Q)$ có 1 véc tơ pháp tuyến $\overset\rightarrow { n_{Q}}$ và $(Q)\perp (P)$. Suy ra: $\overset\rightarrow { n_{Q}}\perp \overset\rightarrow { AH }$ phù hợp với phương trình mặt phẳng $(Q)$ là đáp án $B$.

Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 60