Bài tập nâng cao · Bài 61
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 61
Trong không gian Oxyz: cho hai điểm $A(4;-2;4),B(-2;6;4)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=5 \\ y=-1{ \rm{ . } } \\ z=t \\ \end{array} \end{array} \right.$ Gọi $M$ là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA\perp MB$ và $N$ là điểm thay đổi thuộc $d$. Khi $MN$ nhỏ nhất, tìm hoành độ điểm $M$.
Xem lời giải
Lời giải
Nhận xét:
$+\overset\rightarrow { u_{d}}=(0;0;1)\Rightarrow d\perp (Oxy),\,\,d∩\left( Oxy \right)=N(5;-1;0)$.
$+\overset\rightarrow { AB }=(-6;8;0)\Rightarrow AB\parallel(Oxy),MA\perp MB\Rightarrow M$ nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt cầu đường kính $AB$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right).$
+ Gọi $I(1;2;4)$, $AB=10\Rightarrow R=5$, $IH=4$ nên $r=\sqrt{R^2-IH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
+ Hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là $H(1;2;0)$.
Vậy $M$ nằm trên đường tròn tâm $H(1;2;0);r=3$.
Để $MN$ nhỏ nhất thì $M$ là giao điểm của $NH$ với đường tròn
($M$ thuộc đoạn thẳng $HN$)
Suy ra $M\left( \frac{17}{5};\frac{1}{5};0 \right)$
$+\overset\rightarrow { u_{d}}=(0;0;1)\Rightarrow d\perp (Oxy),\,\,d∩\left( Oxy \right)=N(5;-1;0)$.
$+\overset\rightarrow { AB }=(-6;8;0)\Rightarrow AB\parallel(Oxy),MA\perp MB\Rightarrow M$ nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt cầu đường kính $AB$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right).$
+ Gọi $I(1;2;4)$, $AB=10\Rightarrow R=5$, $IH=4$ nên $r=\sqrt{R^2-IH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
+ Hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là $H(1;2;0)$.
Vậy $M$ nằm trên đường tròn tâm $H(1;2;0);r=3$.
Để $MN$ nhỏ nhất thì $M$ là giao điểm của $NH$ với đường tròn
($M$ thuộc đoạn thẳng $HN$)
Suy ra $M\left( \frac{17}{5};\frac{1}{5};0 \right)$