Bài tập nâng cao · Bài 62
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 62
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;-2;1),B(1;2;-3)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với $d$ và khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$ ngắn nhất. Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ chỉ phương của $\Delta$ ?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $\Delta$ và vuông góc với $d$ nên $(P):2x+2y-z+9=0$.
Đường thẳng $d^{′}$ qua $B$ và vuông góc với $(P)$ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=2+2t \\ z=-3-t \\ \end{array} \end{array} \right.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên $(P)$ thì tọa độ $H$ thỏa phương trình tham số $2(1+2t)+2(2+2t)+3+t+9=0\Rightarrow t=-2\Rightarrow H(-3;-2;-1)$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $B$ lên $\Delta$, ta có: $d_{ (B;\Delta ) } =BK\geq BH\Rightarrow BK_{min}=BH\Leftrightarrow K≡H$.
Vậy véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overset\rightarrow { AH }=(-1;0;-2)=-(1;0;2)$.