Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 63

Ta có $\overset\rightarrow { u_d}\cdot\overset\rightarrow { u_\Delta}=0$ nên $d\perp \Delta$.
Trong $(P)$, Gọi $E$ là hình chiếu của $M$ trên $d$ hay $EM\perp d\Rightarrow EM\perp (Q)\Rightarrow EM\perp EN$.
Trong tam giác $MEN$, kẻ đường cao $EH\Rightarrow EH=d(d,\Delta )$.
Tam giác $MEN$ vuông tại $E$ nên $MN^{2} =EM^{2} +EN^{2} \geq 2\sqrt{EM^{2} EN^{2} }=2EM\cdot EN$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$MN^{2} =EM^{2} +EN^{2} \geq 2\sqrt{EM^{2} EN^{2} }=2EM\cdot EN=2EH\cdot MN\Leftrightarrow MN\geq 2EH$
Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng song song với $\Delta$ và chứa $d\Rightarrow \overset\rightarrow { n_{ (\alpha ) } }=\left[ \overset\rightarrow { u_{d}},\overset\rightarrow { u_{ \Delta } } \right]=(-3;3;0)$, lấy $A(1;1;0)\in d\Rightarrow (\alpha ):x-y=0$.
Lấy $B(2;0;1)\in \Delta \Rightarrow EH=d(d,\Delta )=d(\Delta ,(\alpha ))=d(B,(\alpha ))=\sqrt{2}$.
Vậy $MN\geq 2EH=2\sqrt{2}$. Đẳng thức xảy ra khi tam giác $MEN$ vuông cân tại E.