Bài tập nâng cao · Bài 64
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 64
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-15;7;-11),B(-3;1;1),C(7;-1;5)$ và đường thẳng $(d):\frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{4}=\frac{z+1}{1}$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa $(d)$ sao cho $A,B,C$ ở cùng phía đối với mặt phẳng $(\alpha )$. Gọi $d_{1},d_{2},d_{3}$ lần lượt là khoảng cách từ $A,B,C$ đến $(\alpha )$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T=d_{1}+2d_{2}+3d_{3}$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ khi đó ta có:$M(-9;4;-5),N(2;0;3)$.
Từ đó suy ra $d_{1}+d_{2}=2d_{ (M,(\alpha )) }$ và $d_{2}+d_{3}=2d_{ (N,(\alpha )) }$.
$T=d_{1}+2d_{2}+3d_{3}=2d_{ (M,(\alpha )) } +2d_{ (N,(\alpha )) } +2d_{3}=6d_{ (G,(\alpha )) }$, với $G(0;1;1)$ là trọng tâm $\Delta MNC$.
Đường thẳng $(d)$ qua điểm $P(1;-1;-1)$, VTCP $u=(-1;4;1)\to [\overset\rightarrow { GP };u]=(6;1;2)$
Vậy: $T_{max}=6\max_{ d(G,(\alpha )) } =6GK=6d_{ (G,d) } =\frac{6\mid [\overset\rightarrow { GP };u]\mid }{\mid u\mid }=\sqrt{82}$ khi $K$ là hình chiếu $G$ lên $(d)$.
Từ đó suy ra $d_{1}+d_{2}=2d_{ (M,(\alpha )) }$ và $d_{2}+d_{3}=2d_{ (N,(\alpha )) }$.
$T=d_{1}+2d_{2}+3d_{3}=2d_{ (M,(\alpha )) } +2d_{ (N,(\alpha )) } +2d_{3}=6d_{ (G,(\alpha )) }$, với $G(0;1;1)$ là trọng tâm $\Delta MNC$.
Đường thẳng $(d)$ qua điểm $P(1;-1;-1)$, VTCP $u=(-1;4;1)\to [\overset\rightarrow { GP };u]=(6;1;2)$
Vậy: $T_{max}=6\max_{ d(G,(\alpha )) } =6GK=6d_{ (G,d) } =\frac{6\mid [\overset\rightarrow { GP };u]\mid }{\mid u\mid }=\sqrt{82}$ khi $K$ là hình chiếu $G$ lên $(d)$.