Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(4;-2;4),B(-2;6;4)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=5 \ y=-1{ m{ . } } \ z=t \ \end{array} \end{array} ight.$ Gọi $M$ là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $AMB=90^{°}$ và $N$ là điểm thay đổi thuộc $d$. Khoảng cách giữa hai điểm $M,N$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M≡M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)$. Khi đó $x_{0}+y_{0}$ bằng

Question

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(4;-2;4),B(-2;6;4)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=5 \ y=-1{ m{ . } } \ z=t \ \end{array} \end{array} ight.$ Gọi $M$ là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $AMB=90^{°}$ và $N$ là điểm thay đổi thuộc $d$. Khoảng cách giữa hai điểm $M,N$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M≡M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0}ight)$. Khi đó $x_{0}+y_{0}$ bằng

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $AB=10,I\left( 1;2;4 ight)$ là trung điểm $AB$ Có $\left\{ \begin{array}{l} M\in \left( S ight),\,	ext{tâm }I,	ext{ bán kính }R=5 \ M\in \left( Oxy ight) \end{array} ight.\Rightarrow M\in \left( T ight),\left( T ight)=\left( S ight)∩\left( Oxy ight)$ [IMAGE:question_images/12-CD21. PHUONG TRINH DUONG THANG/F. BAI TAP NANG CAO/image2069.png] Trong đó $\left( T ight)$ là đường tròn tâm $H\left( 1;2;0 ight)$ bán kính $r=\sqrt{R^{2} -IH^{2} }=3$. Khi đó $d\left( H,d ight)=5\Rightarrow \min_{MN}=5-3=2$ Đạt được khi - $N$ là hình chiếu của $H$ lên đường thẳng $d$, tức là điểm giao của $d∩\left( Oxy ight)$ và $\oversetightarrow { HM }=\frac{3}{5}\oversetightarrow { HN }$ Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} N\left( 5;-1;0 ight) \ M\left( \frac{17}{5};\frac{1}{5};0 ight) \end{array} ight.\Rightarrow x_{0}+y_{0}=\frac{18}{5}$

Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 65