Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 66

$d$ đi qua $A(1;-2;3)$, có vectơ chỉ phương $u(1;3;2)$.
$(P)$ có vectơ pháp tuyến $n(1;-1;-1);u\cdot n\neq 0$. Suy ra, $d$ cắt $(P)$ tại $I$.
Gọi $\Delta =(P)∩(\alpha );H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $\Delta$.
Suy ra, $\Delta \perp (AHK)\Rightarrow ( \widehat { (P),(\alpha ) })= \widehat { AKH }$.
Ta có, $\sin ( \widehat { (P),(\alpha ) })=\sin \widehat { AKH }=\frac{AH}{AK}\geq \frac{d(A,(P))}{AI}=const$. Đẳng thức xảy ra khi $K≡I$.
Vậy $(\alpha )$ chứa $d$ và tạo với $(P)$ một góc nhỏ nhất khi $(\alpha )$ chứa $d$ và vuông góc với $(AIH)$.
$(AIH)$ có vectơ pháp tuyến $\overset\rightarrow { n_{1}}=[u,n]=(-1;3;-4)$. Suy ra, $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overset\rightarrow { n_{2}}=\left[ u,\overset\rightarrow { n_{1}} \right]=(-18;2;6)$. Mà $(\alpha )$ đi qua $A(1;-2;3)$ nên: $(\alpha ):9x-y-3z-2=0$.