Bài tập nâng cao · Bài 67
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 67
Trong không gian $Oxyz$, cho $2$ điểm $A\left( 3;-2;3 \right)$, $B\left( 1;0;5 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{2}$. Tìm tọa độ điểm $M$ trên đường thẳng $d$ để $MA^{2} +MB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, ta có $I=\left( 2;-1;4 \right)$.
Khi đó: $MA^{2} +MB^{2} =\overset\rightarrow { MA }^{2} +\overset\rightarrow { MB }^{2}=\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA } \right)^{2} +\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } \right)^{2}$
$=2\overset\rightarrow { MI }^{2} +\overset\rightarrow { IA }^{2} +\overset\rightarrow { IB }^{2} +2\overset\rightarrow { MI }.\left( \overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB } \right)=2MI^{2} +IA^{2} +IB^{2}=2MI^{2} +6$.
Do đó $MA^{2} +MB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên đường thẳng $d$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $I$ và vuông góc với đường thẳng $d$ là
$1.\left( x-2 \right)-2.\left( y+1 \right)+2.\left( z-4 \right)=0$ hay $\left( P \right):x-2y+2z-12=0$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=2-2t \\ z=3+2t \end{array} \right.$.
Tọa độ điểm $M$ cần tìm là nghiệm $\left( x;y;z \right)$ của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=2-2t \\ z=3+2t \\ x-2y+2z-12=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ y=0 \\ z=5 \\ t=1 \end{array} \right.$. Vậy $M\left( 2;0;5 \right)$.
Khi đó: $MA^{2} +MB^{2} =\overset\rightarrow { MA }^{2} +\overset\rightarrow { MB }^{2}=\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA } \right)^{2} +\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } \right)^{2}$
$=2\overset\rightarrow { MI }^{2} +\overset\rightarrow { IA }^{2} +\overset\rightarrow { IB }^{2} +2\overset\rightarrow { MI }.\left( \overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB } \right)=2MI^{2} +IA^{2} +IB^{2}=2MI^{2} +6$.
Do đó $MA^{2} +MB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên đường thẳng $d$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $I$ và vuông góc với đường thẳng $d$ là
$1.\left( x-2 \right)-2.\left( y+1 \right)+2.\left( z-4 \right)=0$ hay $\left( P \right):x-2y+2z-12=0$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=2-2t \\ z=3+2t \end{array} \right.$.
Tọa độ điểm $M$ cần tìm là nghiệm $\left( x;y;z \right)$ của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=2-2t \\ z=3+2t \\ x-2y+2z-12=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ y=0 \\ z=5 \\ t=1 \end{array} \right.$. Vậy $M\left( 2;0;5 \right)$.