Bài tập nâng cao · Bài 68
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 68
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A\left( 1;\,2;\,3 \right),\,B\left( 0;\,1;\,1 \right),\,C\left( 1;\,0;\,-\,2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,x\,+\,y\,+\,z\,+\,2\,=\,0$. Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho giá trị của biểu thức $T\,=\,MA^{2} \,+\,2MB^{2} \,+\,3MC^{2}$ nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng $\left( Q \right):\,2x\,-\,y\,-\,2z\,+\,3\,=\,0$?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I\left( a;\,b;\,c \right)$ là điểm thỏa mãn $\overset\rightarrow { IA }\,+\,2\overset\rightarrow { IB }\,+\,3\overset\rightarrow { IC }\,=\,\overset\rightarrow { 0 }$.
Ta có $\overset\rightarrow { IA }\,\left( 1\,-\,a;\,2\,-\,b;\,3\,-\,c \right),\,\overset\rightarrow { IB }\,\left( -\,a;\,1-\,b;\,1\,-\,c \right),\,\overset\rightarrow { IC }\,\left( 1\,-\,a;\,-\,b;\,-\,2\,-\,c \right)$
$\overset\rightarrow { IA }\,+\,2\overset\rightarrow { IB }\,+\,3\overset\rightarrow { IC }\,=\,\overset\rightarrow { 0 }\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} 1\,-\,a\,-\,2a\,+\,3\,-\,3a\,=\,0 \\ 2\,-\,b\,+\,2\,-\,2b\,-\,3b\,=\,0 \\ 3\,-\,c\,+\,2\,-\,2c\,-\,6\,-\,3c\,=\,0 \end{array} \right.\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} 6a\,=\,4 \\ 6b\,=\,4 \\ 6c\,=\,-\,1 \end{array} \right.\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} a\,=\,\frac{2}{3} \\ b\,=\,\frac{2}{3} \\ c\,=\,-\,\frac{1}{6} \end{array} \right.I\left( \frac{2}{3};\,\frac{2}{3};\,-\,\frac{1}{6} \right)$.
Ta chứng minh được $T\,=\,6MI^{2} \,+\,IA^{2} \,+\,2IB^{2} \,+\,3IC^{2}$. Do đó T đạt GTNN khi $MI$ đạt GTNN $\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P).
Ta có $MI:\,\left\{ \begin{array}{l} x\,=\,\frac{2}{3}\,+\,t \\ y\,=\,\frac{2}{3}\,+\,t \\ z\,=\,-\,\frac{1}{6}\,+\,t \end{array} \right.$, $M\,\in \,MI\,\Rightarrow \,M\left( t\,+\,\frac{2}{3};\,t\,+\,\frac{2}{3};\,t\,-\,\frac{1}{6} \right),\,M\,\in \,\left( P \right)\,\Rightarrow \,3t\,+\,\frac{19}{6}\,=\,0\,\Leftrightarrow \,t\,=\,-\,\frac{19}{18}$
$\Rightarrow \,M\left( -\,\frac{7}{18};\,-\,\frac{7}{18};\,-\,\frac{11}{9} \right)\,\Rightarrow \,d\left ( { M;\,\left( Q \right) } \right )\,=\,\frac{\left| -\,\frac { 7}{9}\,+\,\frac{7}{18}\,+\,\frac{22}{9}\,+\,3 \right| } { 3 }\,=\,\frac{91}{54}$.
Ta có $\overset\rightarrow { IA }\,\left( 1\,-\,a;\,2\,-\,b;\,3\,-\,c \right),\,\overset\rightarrow { IB }\,\left( -\,a;\,1-\,b;\,1\,-\,c \right),\,\overset\rightarrow { IC }\,\left( 1\,-\,a;\,-\,b;\,-\,2\,-\,c \right)$
$\overset\rightarrow { IA }\,+\,2\overset\rightarrow { IB }\,+\,3\overset\rightarrow { IC }\,=\,\overset\rightarrow { 0 }\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} 1\,-\,a\,-\,2a\,+\,3\,-\,3a\,=\,0 \\ 2\,-\,b\,+\,2\,-\,2b\,-\,3b\,=\,0 \\ 3\,-\,c\,+\,2\,-\,2c\,-\,6\,-\,3c\,=\,0 \end{array} \right.\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} 6a\,=\,4 \\ 6b\,=\,4 \\ 6c\,=\,-\,1 \end{array} \right.\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} a\,=\,\frac{2}{3} \\ b\,=\,\frac{2}{3} \\ c\,=\,-\,\frac{1}{6} \end{array} \right.I\left( \frac{2}{3};\,\frac{2}{3};\,-\,\frac{1}{6} \right)$.
Ta chứng minh được $T\,=\,6MI^{2} \,+\,IA^{2} \,+\,2IB^{2} \,+\,3IC^{2}$. Do đó T đạt GTNN khi $MI$ đạt GTNN $\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P).
Ta có $MI:\,\left\{ \begin{array}{l} x\,=\,\frac{2}{3}\,+\,t \\ y\,=\,\frac{2}{3}\,+\,t \\ z\,=\,-\,\frac{1}{6}\,+\,t \end{array} \right.$, $M\,\in \,MI\,\Rightarrow \,M\left( t\,+\,\frac{2}{3};\,t\,+\,\frac{2}{3};\,t\,-\,\frac{1}{6} \right),\,M\,\in \,\left( P \right)\,\Rightarrow \,3t\,+\,\frac{19}{6}\,=\,0\,\Leftrightarrow \,t\,=\,-\,\frac{19}{18}$
$\Rightarrow \,M\left( -\,\frac{7}{18};\,-\,\frac{7}{18};\,-\,\frac{11}{9} \right)\,\Rightarrow \,d\left ( { M;\,\left( Q \right) } \right )\,=\,\frac{\left| -\,\frac { 7}{9}\,+\,\frac{7}{18}\,+\,\frac{22}{9}\,+\,3 \right| } { 3 }\,=\,\frac{91}{54}$.