Bài tập nâng cao · Bài 69
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 69
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( -10;-5;8 \right)$, $B\left( 2;1;-1 \right)$, $C\left( 2;3;0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-2z-9=0$. Xét $M$ là điểm thay đổi trên $\left( P \right)$ sao cho $MA^{2} +2MB^{2} +3MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $MA^{2} +2MB^{2} +3MC^{2}$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là điểm thỏa mãn $\overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }$.
Ta có $\overset\rightarrow { IA }=\left( -10-x;-5-y;8-z \right)$, $\overset\rightarrow { IB }=\left( 2-x;1-y;-1-z \right)$, $\overset\rightarrow { IC }=\left( 2-x;3-y;-z \right)$.
Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l} \left( -10-x \right)+2\left( 2-x \right)+3\left( 2-x \right)=0 \\ \left( -5-y \right)+2\left( 1-y \right)+3\left( 3-y \right)=0 \\ \left( 8-z \right)+2\left( -1-z \right)+3\left( -z \right)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=1 \\ z=1 \end{array} \right.\Rightarrow I\left( 0;1;1 \right)$.
Với điểm $M$ thay đổi trên $\left( P \right)$, ta có
$MA^{2} +2MB^{2} +3MC^{2}=\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA } \right)^{2} +2\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } \right)^{2} +3\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IC } \right)^{2}$
$=6MI^{2} +IA^{2} +2IB^{2} +3IC^{2} +2\overset\rightarrow { MI }\left( \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC } \right)$
$=6MI^{2} +IA^{2} +2IB^{2} +3IC^{2}$ (Vì $\overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }$).
Ta lại có $IA^{2} +2IB^{2} +3IC^{2}=185+2.8+3.9=228$.
Do đó, $MA^{2} +2MB^{2} +3MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ đạt giá trị nhỏ nhất
$\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( P \right)$.
Khi đó, $MI=d\left ( { I,\left( P \right) } \right )=3$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $MA^{2} +2MB^{2} +3MC^{2}$ bằng
$6MI^{2} +228=6.9+228=282$.
Giá trị nhỏ nhất của $MA^{2} +2MB^{2} +3MC^{2}$ đạt được khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( P \right)$.
Lưu ý thêm cách tìm điểm $M$ như sau:
Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Phương trình của $\Delta$: $\left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=1+2t \\ z=1-2t \end{array} \right.$.
Ta có $M=\Delta ∩\left( P \right)$. Xét phương trình
$t+2\left( 1+2t \right)-2\left( 1-2t \right)-9=0\Leftrightarrow 9t-9=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M\left( 1;3;-1 \right)$.
Ta có $\overset\rightarrow { IA }=\left( -10-x;-5-y;8-z \right)$, $\overset\rightarrow { IB }=\left( 2-x;1-y;-1-z \right)$, $\overset\rightarrow { IC }=\left( 2-x;3-y;-z \right)$.
Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l} \left( -10-x \right)+2\left( 2-x \right)+3\left( 2-x \right)=0 \\ \left( -5-y \right)+2\left( 1-y \right)+3\left( 3-y \right)=0 \\ \left( 8-z \right)+2\left( -1-z \right)+3\left( -z \right)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=1 \\ z=1 \end{array} \right.\Rightarrow I\left( 0;1;1 \right)$.
Với điểm $M$ thay đổi trên $\left( P \right)$, ta có
$MA^{2} +2MB^{2} +3MC^{2}=\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA } \right)^{2} +2\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } \right)^{2} +3\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IC } \right)^{2}$
$=6MI^{2} +IA^{2} +2IB^{2} +3IC^{2} +2\overset\rightarrow { MI }\left( \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC } \right)$
$=6MI^{2} +IA^{2} +2IB^{2} +3IC^{2}$ (Vì $\overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }$).
Ta lại có $IA^{2} +2IB^{2} +3IC^{2}=185+2.8+3.9=228$.
Do đó, $MA^{2} +2MB^{2} +3MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ đạt giá trị nhỏ nhất
$\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( P \right)$.
Khi đó, $MI=d\left ( { I,\left( P \right) } \right )=3$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $MA^{2} +2MB^{2} +3MC^{2}$ bằng
$6MI^{2} +228=6.9+228=282$.
Giá trị nhỏ nhất của $MA^{2} +2MB^{2} +3MC^{2}$ đạt được khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( P \right)$.
Lưu ý thêm cách tìm điểm $M$ như sau:
Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Phương trình của $\Delta$: $\left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=1+2t \\ z=1-2t \end{array} \right.$.
Ta có $M=\Delta ∩\left( P \right)$. Xét phương trình
$t+2\left( 1+2t \right)-2\left( 1-2t \right)-9=0\Leftrightarrow 9t-9=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M\left( 1;3;-1 \right)$.