Bài tập nâng cao · Bài 70
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 70
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0$ và ba điểm $A\left( 3;1;1 \right)$, $B\left( 7;3;9 \right)$ và $C\left( 2;2;2 \right)$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$ trên $\left( P \right)$ sao cho $\left| \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB }+3\overset\rightarrow { MC } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $2a-10b+c$.
Xem lời giải
Lời giải
+ Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là điểm thỏa mãn $\overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { IA }=\left( 3-x;1-y;1-z \right) \\ \overset\rightarrow { IB }=\left( 7-x;3-y;9-z \right) \\ \overset\rightarrow { IC }=\left( 2-x;2-y;2-z \right) \end{array} \right.$.
+ $\overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 23-6x=0 \\ 13-6y=0 \\ 25-6z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{23}{6} \\ y=\frac{13}{6} \\ z=\frac{25}{6} \end{array} \right.\Rightarrow I\left( \frac{23}{6};\frac{13}{6};\frac{25}{6} \right)$.
$\left| \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB }+3\overset\rightarrow { MC } \right|=\left | { 6\overset\rightarrow { MI }+\left( \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC } \right) } \right |=\left| 6\overset\rightarrow { MI } \right|=6MI$.
$\left| \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB }+3\overset\rightarrow { MC } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
+ Gọi đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $I$ và vuông góc $\left( P \right)$.
Ta có $\left( d \right)$ đi qua $I\left( \frac{23}{6};\frac{13}{6};\frac{25}{6} \right)$ và nhận $\overset\rightarrow { n_{p}}=\left( 1;1;1 \right)$ làm véc tơ chỉ phương.
Suy ra phương trình $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{23}{6}+t \\ y=\frac{13}{6}+t \\ z=\frac{25}{6}+t \end{array} \right.$.
$M\in \left( d \right)\Leftrightarrow M\left( \frac{23}{6}+t;\frac{13}{6}+t;\frac{25}{6}+t \right)$
$M\in \left( P \right)\Leftrightarrow \frac{23}{6}+t+\frac{13}{6}+t+\frac{25}{6}+t-3=0\Leftrightarrow t=\frac{-43}{18}\Leftrightarrow M\left( \frac{13}{9};\frac{-2}{9};\frac{16}{9} \right)$.
Do đó $\left\{ \begin{array}{l} a=\frac{13}{9} \\ b=\frac{-2}{9} \\ c=\frac{16}{9} \end{array} \right.\Rightarrow 2a-10b+c=\frac{62}{9}$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { IA }=\left( 3-x;1-y;1-z \right) \\ \overset\rightarrow { IB }=\left( 7-x;3-y;9-z \right) \\ \overset\rightarrow { IC }=\left( 2-x;2-y;2-z \right) \end{array} \right.$.
+ $\overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 23-6x=0 \\ 13-6y=0 \\ 25-6z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{23}{6} \\ y=\frac{13}{6} \\ z=\frac{25}{6} \end{array} \right.\Rightarrow I\left( \frac{23}{6};\frac{13}{6};\frac{25}{6} \right)$.
$\left| \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB }+3\overset\rightarrow { MC } \right|=\left | { 6\overset\rightarrow { MI }+\left( \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC } \right) } \right |=\left| 6\overset\rightarrow { MI } \right|=6MI$.
$\left| \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB }+3\overset\rightarrow { MC } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
+ Gọi đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $I$ và vuông góc $\left( P \right)$.
Ta có $\left( d \right)$ đi qua $I\left( \frac{23}{6};\frac{13}{6};\frac{25}{6} \right)$ và nhận $\overset\rightarrow { n_{p}}=\left( 1;1;1 \right)$ làm véc tơ chỉ phương.
Suy ra phương trình $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{23}{6}+t \\ y=\frac{13}{6}+t \\ z=\frac{25}{6}+t \end{array} \right.$.
$M\in \left( d \right)\Leftrightarrow M\left( \frac{23}{6}+t;\frac{13}{6}+t;\frac{25}{6}+t \right)$
$M\in \left( P \right)\Leftrightarrow \frac{23}{6}+t+\frac{13}{6}+t+\frac{25}{6}+t-3=0\Leftrightarrow t=\frac{-43}{18}\Leftrightarrow M\left( \frac{13}{9};\frac{-2}{9};\frac{16}{9} \right)$.
Do đó $\left\{ \begin{array}{l} a=\frac{13}{9} \\ b=\frac{-2}{9} \\ c=\frac{16}{9} \end{array} \right.\Rightarrow 2a-10b+c=\frac{62}{9}$.