Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 71

Gọi $I$ là trung điểm $AB\Rightarrow I\left( 3;1;4 \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ xuống mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Ta có $\overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MB }=\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA } \right).\left( \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } \right)=MI^{2}+\overset\rightarrow { MI }.\left( \overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB } \right)-IA^{2}=MI^{2}-IA^{2}$.
Do $IA$ không đổi nên $\overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MB }$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI=IH\Leftrightarrow M≡H$.
Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Khi đó $\Delta$ nhận $\overset\rightarrow { n_{\left( \alpha \right)} }=\left( 1;2;-3 \right)$ làm vectơ chỉ phương. Do đó $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x=3+t \\ y=1+2t \\ z=4-3t \end{array} \right.$.
$H\in \Delta\Leftrightarrow H\left( 3+t;1+2t;4-3t \right)$.
$H\in \left( \alpha \right)\Leftrightarrow \left( 3+t \right)+2\left( 1+2t \right)-3\left( 4-3t \right)-7=0$$\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow H\left( 4;3;1 \right)$.
Vậy $M\left( 4;3;1 \right)$.