Bài tập nâng cao · Bài 72
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 72
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho 3 điểm $A\left( 1;1;1 \right)$, $B\left( 0;1;2 \right)$, $C\left( -2;1;4 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z+2=0$. Tìm điểm $N\in \left( P \right)$ sao cho $S=2NA^{2}+NB^{2}+NC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Với mọi điểm $I$ ta có
$S=2NA^{2}+NB^{2}+NC^{2}=2\left( \overset\rightarrow { NI }+\overset\rightarrow { IA } \right)^{2}+\left( \overset\rightarrow { NI }+\overset\rightarrow { IB } \right)^{2}+\left( \overset\rightarrow { NI }+\overset\rightarrow { IC } \right)^{2}$
$=4NI^{2}+2\overset\rightarrow { NI }\left( 2\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC } \right)+2IA^{2}+IB^{2}+IC^{2}$
Chọn điểm $I$ sao cho $2\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }$
$2\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }\Leftrightarrow 4\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC }=\overset\rightarrow { 0 }$. Suy ra tọa độ điểm $I$ là: $I\left( 0;1;2 \right)$.
Khi đó $S=4NI^{2}+2IA^{2}+IB^{2}+IC^{2}$, do đó $S$ nhỏ nhất khi $N$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Phương trình đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=0+t \\ y=1-t \\ z=2+t \end{array} \right.$
Tọa độ điểm $N\left( t;1-t;2+t \right)\in \left( P \right)$$\Rightarrow t-1+t+2+t+2=0\Leftrightarrow t=-1$$\Rightarrow N\left( -1;2;1 \right)$.
$S=2NA^{2}+NB^{2}+NC^{2}=2\left( \overset\rightarrow { NI }+\overset\rightarrow { IA } \right)^{2}+\left( \overset\rightarrow { NI }+\overset\rightarrow { IB } \right)^{2}+\left( \overset\rightarrow { NI }+\overset\rightarrow { IC } \right)^{2}$
$=4NI^{2}+2\overset\rightarrow { NI }\left( 2\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC } \right)+2IA^{2}+IB^{2}+IC^{2}$
Chọn điểm $I$ sao cho $2\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }$
$2\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }\Leftrightarrow 4\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC }=\overset\rightarrow { 0 }$. Suy ra tọa độ điểm $I$ là: $I\left( 0;1;2 \right)$.
Khi đó $S=4NI^{2}+2IA^{2}+IB^{2}+IC^{2}$, do đó $S$ nhỏ nhất khi $N$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Phương trình đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=0+t \\ y=1-t \\ z=2+t \end{array} \right.$
Tọa độ điểm $N\left( t;1-t;2+t \right)\in \left( P \right)$$\Rightarrow t-1+t+2+t+2=0\Leftrightarrow t=-1$$\Rightarrow N\left( -1;2;1 \right)$.