Bài tự luận · Bài 30
Bài tự luận Ôn tập Lượng giác 11 · Bài 30
Phương trình $ tan2x+tan\left ( { x+\frac { \pi } { 4 } } \right )=-1 $ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $ \left ( { 0;\pi } \right ) $?
Xem lời giải
Lời giải
Trường hợp 1: ta dễ thấy $ x=\frac { \pi } { 2 }+k\pi \left ( { k\in \mathbb{Z} } \right ) $ là nghiệm của phương trình.
Để nghiệm thuộc khoảng $ \left ( { 0;\pi } \right ) $ thì $ k=0.{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) $
Trường hợp 2: $ x\neq \frac { \pi } { 2 }+k\pi \left ( { k\in \mathbb{Z} } \right ) $
$ tan2x+tan\left ( { x+\frac { \pi } { 4 } } \right )=-1 $ (điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 2x\neq \frac{\pi}{2}+l\pi \\ x+\frac{\pi}{4}\neq \frac{\pi}{2}+t\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x\neq \frac{\pi}{4}+m\frac{\pi}{2},\ m\in\mathbb{Z}$).
$ \Rightarrow \frac { 2tanx } { 1-tan ^ { 2 } x }+\frac { tanx+1 } { 1-tanx }=-1\Leftrightarrow tan ^ { 2 } x+4tanx+1=tan ^ { 2 } x-1\Leftrightarrow tanx=-\frac { 1 } { 2 } $
Dựa trên đường tròn lượng giác ta dễ thấy có 1 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. $ \left ( { 2 } \right ) $
Từ $ \left ( { 1 } \right ),\left ( { 2 } \right ) $ suy ra có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
Để nghiệm thuộc khoảng $ \left ( { 0;\pi } \right ) $ thì $ k=0.{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) $
Trường hợp 2: $ x\neq \frac { \pi } { 2 }+k\pi \left ( { k\in \mathbb{Z} } \right ) $
$ tan2x+tan\left ( { x+\frac { \pi } { 4 } } \right )=-1 $ (điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 2x\neq \frac{\pi}{2}+l\pi \\ x+\frac{\pi}{4}\neq \frac{\pi}{2}+t\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x\neq \frac{\pi}{4}+m\frac{\pi}{2},\ m\in\mathbb{Z}$).
$ \Rightarrow \frac { 2tanx } { 1-tan ^ { 2 } x }+\frac { tanx+1 } { 1-tanx }=-1\Leftrightarrow tan ^ { 2 } x+4tanx+1=tan ^ { 2 } x-1\Leftrightarrow tanx=-\frac { 1 } { 2 } $
Dựa trên đường tròn lượng giác ta dễ thấy có 1 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. $ \left ( { 2 } \right ) $
Từ $ \left ( { 1 } \right ),\left ( { 2 } \right ) $ suy ra có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.