Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có $ 10 $ câu. Mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì được $ 1 $ điểm, trả lời sai thì bị trừ $ 0,5 $ điểm. Một thí sinh do không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Xác suất để thí sinh đó làm bài được số điểm không nhỏ hơn $ 7 $ là $ P(A)=\frac { a } { b } $ với $ a,b\in \mathbb{N}* $ và $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức: $ T=\frac { a+b-253 } { 100 } $.

Chọn ngẫu nhiên phương án trả lời cho $ 10 $ câu hỏi ta được không gian mẫu có số phần tử là $ n\left ( { Ω } \right )=4 ^ { 10 } $. Gọi $ A $ là biến cố thí sinh làm bài được số điểm không nhỏ hơn $ 7 $. Một thí sinh làm bài được số điểm không nhỏ hơn $ 7 $ thuộc một trong các trường hợp sau: + Đúng $ 10 $ câu (được $ 10 $ điểm) có: $ 1 $ cách chọn. + Đúng $ 9 $ câu và sai $ 1 $ câu (được $ 8,5 $ điểm) có: $ C_{ 10 } ^{ 1 }.3=30 $ cách chọn. (nhân thêm $ 3 $ là do mỗi phươn án sai có $ 3 $ cách chọn) + Đúng $ 8 $ câu và sai $ 2 $ câu (được $ 7 $ điểm) có: $ C_{ 10 } ^{ 2 }.3 ^ { 2 } =405 $ cách chọn. Khi đó $ n\left ( { A } \right )=1+30+405=436 $. Vậy xác suất để thí sinh làm bài được số điểm không nhỏ hơn $ 7 $ là $ P\left ( { A } \right )=\frac { n\left ( { A } \right ) } { n\left ( { Ω } \right ) } =\frac { 436 } { 4 ^ { 10 } }=\frac { 109 } { 262144 } $. Chú ý: Gọi $ x $ là số câu đúng (với $ 0\leq x\leq 10 $, $ x\in \mathbb{N} $), $ 10-x $ là số câu sai thì điểm của thí sinh là $ d=x-0,5\left ( { 10-x } \right )=\frac { 3x } { 2 }-5 $. Vì $ d\geq 7 $ nên $ \frac { 3x } { 2 }-5\geq 7⇔x\geq 8 $ nên $ x\in \left \{ \begin{array}{l} 8;9;10 \end{array} \right \} $. Do đó ta có $ 3 $ trường hợp như trong Lời giải.