Bài tập nâng cao · Bài 24
Dạng 4. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 24
Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y=\left| mx^{3}-mx^{2}+16x-32 \right|$ nghịch biến trên khoảng $(1;2)$.
Xem lời giải
Lời giải
Xét $f(x)=mx^{3}-mx^{2}+16x-32$ ta có $f'(x)=m\left( 3x^{2}-2x \right)+16$ và hàm số $y=\left| f(x) \right|=\left\{ \begin{array}{l} f(x)\ (f(x)\geq 0) \\ -f(x)\ (f(x)<0) \end{array} \right.\Rightarrow y'=\left\{ \begin{array}{l} f'(x)\ (f(x)>0) \\ -f'(x)\ (f(x)<0) \end{array} \right.$.
TH1: $\left\{ \begin{array}{l} f'(x)\leq 0,\forall x\in (1;2) \\ f(x)>0,\forall x\in (1;2) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'(x)\leq 0,\forall x\in (1;2) \\ f(2)\geq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\left( 3x^{2}-2x \right)+16\leq 0,\forall x\in (1;2) \\ 4m\geq 0 \end{array} \right.$
Hệ này vô nghiệm vì $m\geq 0\Rightarrow m\left( 3x^{2}-2x \right)+16>0,\forall x\in (1;2)$.
TH2:
$\left\{ \begin{array}{l} -f'(x)\leq 0,\forall x\in (1;2) \\ f(x)<0,\forall x\in (1;2) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'(x)\geq 0,\forall x\in (1;2) \\ f(2)\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\left( 3x^{2}-2x \right)+16\geq 0,\forall x\in (1;2) \\ 4m\leq 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\geq g(x)=-\frac{16}{3x^{2}-2x},\forall x\in (1;2) \\ m\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\geq \max\limits_{[1;2]} g(x)=g(2)=-2 \\ m\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow -2\leq m\leq 0.$
Vậy có 3 số nguyên thoả mãn.
TH1: $\left\{ \begin{array}{l} f'(x)\leq 0,\forall x\in (1;2) \\ f(x)>0,\forall x\in (1;2) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'(x)\leq 0,\forall x\in (1;2) \\ f(2)\geq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\left( 3x^{2}-2x \right)+16\leq 0,\forall x\in (1;2) \\ 4m\geq 0 \end{array} \right.$
Hệ này vô nghiệm vì $m\geq 0\Rightarrow m\left( 3x^{2}-2x \right)+16>0,\forall x\in (1;2)$.
TH2:
$\left\{ \begin{array}{l} -f'(x)\leq 0,\forall x\in (1;2) \\ f(x)<0,\forall x\in (1;2) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'(x)\geq 0,\forall x\in (1;2) \\ f(2)\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\left( 3x^{2}-2x \right)+16\geq 0,\forall x\in (1;2) \\ 4m\leq 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\geq g(x)=-\frac{16}{3x^{2}-2x},\forall x\in (1;2) \\ m\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\geq \max\limits_{[1;2]} g(x)=g(2)=-2 \\ m\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow -2\leq m\leq 0.$
Vậy có 3 số nguyên thoả mãn.