(Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a\in [-10;10]$ để hàm số $y=\left| 3x^{4}-4(a+2)x^{3}+12ax^{2}-30a \right|$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-2)$ ?

Question

Dạng 4. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a\in [-10;10]$ để hàm số $y=\left| 3x^{4}-4(a+2)x^{3}+12ax^{2}-30a \right|$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-2)$ ?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $(-\infty;b)$. Xét hàm số $f(x)=3x^{4}-4(a+2)x^{3}+12ax^{2}-30a\Rightarrow f(-2)=48+32a+64+48a-30a=50a+112.$ $f'(x)=12x\left[ x^{2}-(a+2)x+2a ight]=12x(x-2)(x-a).$ + TH1: $\left\{ \begin{array}{l} f'(x)\geq 0,\forall x\in (-\infty;-2) \ f(-2)\leq 0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\geq a,\forall x\in (-\infty;-2)\ (l) \ 50a+112\leq 0 \end{array} ight.$. (KHÔNG THỎA MÃN) + TH2: $\left\{ \begin{array}{l} f'(x)\leq 0,\forall x\in (-\infty;-2) \ f(-2)\geq 0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\leq a,\forall x\in (-\infty;-2) \ 50a+112\geq 0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a\geq -2 \ a\geq -\frac{56}{25} \end{array} ight.\Leftrightarrow a\geq -2.$ Vậy $a\in \{-2;-1;\ldots;10\}$.

Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 25