(Cụm trường Ninh Thuận - Ninh Thuận 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in (-2022;2023)$ để hàm số $y=\left| 2x^{3}-(m-3)x+16-m^{2} \right|$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ ?

Question

Dạng 4. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước (Cụm trường Ninh Thuận - Ninh Thuận 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in (-2022;2023)$ để hàm số $y=\left| 2x^{3}-(m-3)x+16-m^{2} \right|$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ ?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Xét hàm số $g(x)=2x^{3}-(m-3)x+16-m^{2}	o g'(x)=6x^{2}-m+3$. Điều kiện bài toán $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} g'(x)\geq 0,\forall x\in (0;2) \ g(0)\geq 0 \end{array} ight. \ \left\{ \begin{array}{l} g'(x)\leq 0,\forall x\in (0;2) \ g(0)\leq 0 \end{array} ight. \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m\leq 6x^{2}+3,\forall x\in (0;2) \ -m+3\geq 0 \end{array} ight. \ \left\{ \begin{array}{l} m\geq \underbrace{6x^{2}+3}_{f(x)},\forall x\in (0;2) \ -m+3\leq 0 \end{array} ight. \end{array} ight.$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m\leq f(0)=3 \ m\leq 3 \end{array} ight. \ \left\{ \begin{array}{l} m\geq f(2)=27 \ m\geq 3 \end{array} ight. \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m\leq 3 \ m\geq 27 \end{array} ight.$. Kết hợp với điều kiện $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in (-2022;2023)$, ta được: $m\in \underbrace{(-2022;3]}_{2025}\cup \underbrace{[27;2023)}_{1996}$. Vậy có $2025+1996=4021$ giá trị $m\in \mathbb{Z}$.

Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 26