Dạng 5. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x)
Cách 1:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g(x)$, $g'(x)=u'(x)\cdot f'\left[ u(x) \right]$.
Bước 2: Sử dụng đồ thị của $f'(x)$, lập bảng xét dấu của $g'(x)$.
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g(x)$, $g'(x)=u'(x)\cdot f'\left[ u(x) \right]$.
Bước 2: Hàm số $g(x)$ đồng biến $\Leftrightarrow g'(x)\geq 0$; (Hàm số $g(x)$ nghịch biến $\Leftrightarrow g'(x)\leq 0$) (*)
Bước 3: Giải bất phương trình $(*)$ (dựa vào đồ thị hàm số $y=f'(x)$) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 27
(THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y=f'(x)$ như hình bên.
Xác định tính đơn điệu của hàm số $g(x)=f(3-2x)$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-2 \\ x=2 \\ x=5 \end{array} \right.$
Khi đó $g'(x)=-2f'(3-2x)$
Với $g'(x)=0\Leftrightarrow f'(3-2x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3-2x=-2 \\ 3-2x=2 \\ 3-2x=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{5}{2} \\ x=\frac{1}{2} \\ x=-1 \end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
