Dạng 5. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x)
Cách 1:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g(x)$, $g'(x)=u'(x)\cdot f'\left[ u(x) \right]$.
Bước 2: Sử dụng đồ thị của $f'(x)$, lập bảng xét dấu của $g'(x)$.
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g(x)$, $g'(x)=u'(x)\cdot f'\left[ u(x) \right]$.
Bước 2: Hàm số $g(x)$ đồng biến $\Leftrightarrow g'(x)\geq 0$; (Hàm số $g(x)$ nghịch biến $\Leftrightarrow g'(x)\leq 0$) (*)
Bước 3: Giải bất phương trình $(*)$ (dựa vào đồ thị hàm số $y=f'(x)$) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 28
(Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y=f'(x)$ như hình vẽ. Xác định tính đơn điệu của hàm số $y=f\left( x^{2}+2 \right)$
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $g(x)=f\left( x^{2}+2 \right)$, hàm số có đạo hàm trên $\mathbb{R}$.
$g'(x)=2xf'\left( x^{2}+2 \right)$, kết hợp với đồ thị hàm số $y=f'(x)$ ta được:
$g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ f'\left( x^{2}+2 \right)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x^{2}+2=-2 \\ x^{2}+2=2 \\ x^{2}+2=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\sqrt{3} \\ x=-\sqrt{3} \end{array} \right.$.
Từ đồ thị đã cho ta có $f'(x)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} -2<x<2 \\ x>5 \end{array} \right.$
Suy ra $f'\left( x^{2}+2 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} -2<x^{2}+2<2 \\ x^{2}+2>5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} -4<x^{2}<0 \\ x^{2}>3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x>\sqrt{3} \\ x<-\sqrt{3} \end{array} \right.$.
Và lập luận tương tự $f'\left( x^{2}+2 \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2<x^{2}+2<5 \\ x^{2}+2<-2 \end{array} \right.\Leftrightarrow 0<x^{2}<3\Leftrightarrow -\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$.
Bảng biến thiên ( Dấu của $g'(x)$ phụ thuộc vào dấu của $2x$ và $f'\left( x^{2}+2 \right)$ trên từng khoảng)
