Dạng 5. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x)
Cách 1:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g(x)$, $g'(x)=u'(x)\cdot f'\left[ u(x) \right]$.
Bước 2: Sử dụng đồ thị của $f'(x)$, lập bảng xét dấu của $g'(x)$.
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g(x)$, $g'(x)=u'(x)\cdot f'\left[ u(x) \right]$.
Bước 2: Hàm số $g(x)$ đồng biến $\Leftrightarrow g'(x)\geq 0$; (Hàm số $g(x)$ nghịch biến $\Leftrightarrow g'(x)\leq 0$) (*)
Bước 3: Giải bất phương trình $(*)$ (dựa vào đồ thị hàm số $y=f'(x)$) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 29
(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu như hình sau. Xác định tính đơn điệu của hàm số $g(x)=f\left( x^{2}+3x+1 \right)$
Xem lời giải
Lời giải
$g'(x)=(2x+3)f'\left( x^{2}+3x+1 \right)$.
$g'(x)=0\Leftrightarrow (2x+3)f'\left( x^{2}+3x+1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{3}{2} \\ x^{2}+3x+1=-1 \\ x^{2}+3x+1=1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{3}{2} \\ x=-1 \\ x=-2 \\ x=0 \\ x=-3 \end{array} \right.$.
Bảng xét dấu $g'(x)=(2x+3)f'\left( x^{2}+3x+1 \right)$
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số $g(x)=f\left( x^{2}+3x+1 \right)$ suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
