(Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số $f\left( x \right)$. Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-2x \right)+x^{2}-x$ nghịch biến trên khoảng nào?

Question

Dạng 6. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x) Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Sử dụng đồ thị của $f'\left( x \right)$, lập bảng xét dấu của $g'\left( x \right)$. Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0$; (Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\leq 0$) (*) Bước 3: Giải bất phương trình $\left( * \right)$ (dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 3: (Trắc nghiệm) Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0,\,\forall x\in K$; (Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\leq 0,\,\forall x\in K$) (*) Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào $g'\left( x \right)$ để loại các phương án sai. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số $f\left( x \right)$. Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-2x \right)+x^{2}-x$ nghịch biến trên khoảng nào? [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image461.png]

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có : $g\left( x ight)=f\left( 1-2x ight)+x^{2}-x$ $\Rightarrow g'\left( x ight)=-2f'\left( 1-2x ight)+2x-1$ Đặt $t=1-2x\Rightarrow g'\left( x ight)=-2f'\left( t ight)-t$ $g'\left( x ight)=0\Rightarrow f'\left( t ight)=-\frac{t}{2}$ Vẽ đường thẳng $y=-\frac{x}{2}$ và đồ thị hàm số $f'\left( x ight)$ trên cùng một hệ trục [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image467.png] Hàm số $g\left( x ight)$ nghịch biến $\Rightarrow g'\left( x ight)\leq 0\Rightarrow f'\left( t ight)\geq -\frac{t}{2}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} -2\leq t\leq 0 \ t\geq 4 \end{array} ight.$ Như vậy $f'\left( 1-2x ight)\geq \frac{1-2x}{-2}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} -2\leq 1-2x\leq 0 \ 4\leq 1-2x \end{array} ight.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2} \ x\leq -\frac{3}{2} \end{array} ight.$. Vậy hàm số $g\left( x ight)=f\left( 1-2x ight)+x^{2}-x$ nghịch biến trên các khoảng $\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} ight)$ và $\left( -\infty ;-\frac{3}{2} ight)$.

Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 30