(Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số $f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3x+1 \right)+9x^{3}+\frac{9}{2}x^{2}$ đồng biến trên khoảng nào? [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image476.png]

Question

Dạng 6. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x) Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Sử dụng đồ thị của $f'\left( x \right)$, lập bảng xét dấu của $g'\left( x \right)$. Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0$; (Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\leq 0$) (*) Bước 3: Giải bất phương trình $\left( * \right)$ (dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 3: (Trắc nghiệm) Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0,\,\forall x\in K$; (Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\leq 0,\,\forall x\in K$) (*) Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào $g'\left( x \right)$ để loại các phương án sai. (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số $f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3x+1 \right)+9x^{3}+\frac{9}{2}x^{2}$ đồng biến trên khoảng nào? [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image476.png]

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Xét hàm số $g\left( x ight)=f\left( 3x+1 ight)+9x^{3}+\frac{9}{2}x^{2}\Rightarrow g'\left( x ight)=3f'\left( 3x+1 ight)+27x^{2}+9x$ Hàm số đồng biến tương đương $g'\left( x ight)>0\Leftrightarrow 3f'\left( 3x+1 ight)+27x^{2}+9x>0$ $\Leftrightarrow f'\left( 3x+1 ight)+3x\left( 3x+1 ight)>0\,\,\left( * ight)$. Đặt $t=3x+1\,\,\,\left( * ight)\Leftrightarrow f'\left( t ight)+\left( t-1 ight)t>0\Leftrightarrow f'\left( t ight)>-t^{2}+t$ Vẽ parabol $y=-x^{2}+x$ và đồ thị hàm số $f'\left( x ight)$ trên cùng một hệ trục [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image483.png] Dựa vào đồ thị ta thấy $f'\left( t ight)>-t^{2}+t\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} -12 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} -1<3x+1<1 \ 3x+1>2 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{-2}{3}\frac{1}{3} \end{array} ight.$.

Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 31