Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, bảng xét dấu của biểu thức $f'\left( x \right)$ như bảng dưới đây.

Hàm số $y=g\left( x \right)=\frac{f\left( x^{2}-2x \right)}{f\left( x^{2}-2x \right)+1}$ nghịch biến trên khoảng nào?

Question

Dạng 6. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x) Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Sử dụng đồ thị của $f'\left( x \right)$, lập bảng xét dấu của $g'\left( x \right)$. Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0$; (Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\leq 0$) (*) Bước 3: Giải bất phương trình $\left( * \right)$ (dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 3: (Trắc nghiệm) Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0,\,\forall x\in K$; (Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\leq 0,\,\forall x\in K$) (*) Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào $g'\left( x \right)$ để loại các phương án sai. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, bảng xét dấu của biểu thức $f'\left( x \right)$ như bảng dưới đây. [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image488.png] Hàm số $y=g\left( x \right)=\frac{f\left( x^{2}-2x \right)}{f\left( x^{2}-2x \right)+1}$ nghịch biến trên khoảng nào?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: $g'\left( x ight)=\frac{\left( x^{2}-2x ight)'.f'\left( x^{2}-2x ight)}{\left( f\left( x^{2}-2x ight)+1 ight)^{2}}=\frac{\left( 2x-2 ight).f'\left( x^{2}-2x ight)}{\left( f\left( x^{2}-2x ight)+1 ight)^{2}}$. $g'\left( x ight)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-2=0 \ f'\left( x^{2}-2x ight)=0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \ x^{2}-2x=-2 \ x^{2}-2x=-1 \ x^{2}-2x=3 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \ x=-1 \ x=3 \end{array} ight.$ Ta có bảng xét dấu của $g'\left( x ight)$: [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image493.png] Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số $y=g\left( x ight)$ nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;\,-1 ight)$ và $\left( 1\,;\,3 ight)$.

Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 32