Bài tập nâng cao · Bài 23
Dạng 4. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 23
(Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y=2^{x^{3}-x^{2}+mx+1}$ đồng biến trên $(1;2)$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $y'=\left( 3x^{2}-2x+m \right)\cdot 2^{x^{3}-x^{2}+mx+1}\cdot \ln 2$
Hàm số đồng biến trên $(1;2)$ $\Leftrightarrow y'\geq 0$, $\forall x\in (1;2)$
$\Leftrightarrow \left( 3x^{2}-2x+m \right)\cdot 2^{x^{3}-x^{2}+mx+1}\cdot \ln 2\geq 0$, $\forall x\in (1;2)$
$\Leftrightarrow 3x^{2}-2x+m\geq 0$, $\forall x\in (1;2)$
$\Leftrightarrow m\geq -3x^{2}+2x$, $\forall x\in (1;2)$
$\Leftrightarrow m\geq \max\limits_{(1;2)} \left( -3x^{2}+2x \right)$.
Xét hàm số $f(x)=-3x^{2}+2x$, với $x\in (1;2)$.
Ta có: $f'(x)=-6x+2$.
Cho $f'(x)=0$ $\Leftrightarrow -6x+2=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$.
Bảng biến thiên:
Vậy $m\geq -1$ thỏa yêu cầu bài toán.
Hàm số đồng biến trên $(1;2)$ $\Leftrightarrow y'\geq 0$, $\forall x\in (1;2)$
$\Leftrightarrow \left( 3x^{2}-2x+m \right)\cdot 2^{x^{3}-x^{2}+mx+1}\cdot \ln 2\geq 0$, $\forall x\in (1;2)$
$\Leftrightarrow 3x^{2}-2x+m\geq 0$, $\forall x\in (1;2)$
$\Leftrightarrow m\geq -3x^{2}+2x$, $\forall x\in (1;2)$
$\Leftrightarrow m\geq \max\limits_{(1;2)} \left( -3x^{2}+2x \right)$.
Xét hàm số $f(x)=-3x^{2}+2x$, với $x\in (1;2)$.
Ta có: $f'(x)=-6x+2$.
Cho $f'(x)=0$ $\Leftrightarrow -6x+2=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$.
Bảng biến thiên:
Vậy $m\geq -1$ thỏa yêu cầu bài toán.