Dạng 4. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 22
(Chuyên Thái Bình - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-2018;2018]$ để hàm số $y=\sqrt{x^{2}+1}-mx-1$ đồng biến trên $(-\infty;+\infty)$.
Xem lời giải
Lời giải
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
$y'=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-m$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y'\geq 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow m\leq \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $(1)$.
Xét $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ trên $\mathbb{R}$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-1$; $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1$.
$f'(x)=\frac{1}{\left( x^{2}+1 \right)\sqrt{x^{2}+1}}>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $m\leq \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow m\leq -1$.
Mặt khác $m\in [-2018;2018]$ $\Rightarrow m\in [-2018;-1]$.
Vậy có $2018$ số nguyên $m$ thoả điều kiện.
