Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 21

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ 2 \right\}$. Đạo hàm: $y'=1+\frac{m-1}{(x-2)^{2}}=\frac{x^{2}-4x+m+3}{(x-2)^{2}}$.
Xét hàm số $f(x)=x^{2}-4x+3$ trên $\left[ 5;+\infty \right)$.
Đạo hàm: $f'(x)=2x-4$. Xét $f'(x)=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=-1$. Ta có: $f(5)=8$.
Bảng biến thiên:

Do $(x-2)^{2}>0$ với mọi $x\in \left[ 5;+\infty \right)$ nên $y'\geq 0$, $\forall x\in \left[ 5;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $f(x)\geq -m$, $\forall x\in \left[ 5;+\infty \right)$. Dựa vào bảng biến thiên ta có: $-m\leq 8\Leftrightarrow m\geq -8$.
Mà $m$ nguyên âm nên ta có: $m\in \left\{ -8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}$.
Vậy có $8$ giá trị nguyên âm của $m$ để hàm số $y=x+5+\frac{1-m}{x-2}$ đồng biến trên $\left[ 5;+\infty \right)$.