Bài tập nâng cao · Bài 20
Dạng 4. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 20
(Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số $y=\frac{\ln x-4}{\ln x-2m}$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;e)$. Tìm số phần tử của $S$.
Xem lời giải
Lời giải
$y=f(x)=\frac{\ln x-4}{\ln x-2m}$
Đặt $t=\ln x$, điều kiện $t\in (0;1)$
$g(t)=\frac{t-4}{t-2m}$; $g'(t)=\frac{-2m+4}{(t-2m)^{2}}$
Để hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(1;e)$ thì hàm số $g(t)$ đồng biến trên $(0;1)$ $\Leftrightarrow g'(t)>0,\ t\in (0;1)$ $\Leftrightarrow \frac{-2m+4}{(t-2m)^{2}}>0,t\in (0;1)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2m+4>0 \\ 2m\notin (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{2}<m<2 \\ m<0 \end{array} \right.$
$S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương $\Rightarrow S=\left\{ 1 \right\}$.
Vậy số phần tử của tập $S$ là $1$.
Đặt $t=\ln x$, điều kiện $t\in (0;1)$
$g(t)=\frac{t-4}{t-2m}$; $g'(t)=\frac{-2m+4}{(t-2m)^{2}}$
Để hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(1;e)$ thì hàm số $g(t)$ đồng biến trên $(0;1)$ $\Leftrightarrow g'(t)>0,\ t\in (0;1)$ $\Leftrightarrow \frac{-2m+4}{(t-2m)^{2}}>0,t\in (0;1)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2m+4>0 \\ 2m\notin (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{2}<m<2 \\ m<0 \end{array} \right.$
$S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương $\Rightarrow S=\left\{ 1 \right\}$.
Vậy số phần tử của tập $S$ là $1$.