Bài tập nâng cao · Bài 19
Dạng 4. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 19
(Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hàm số $y=\frac{(4-m)\sqrt{6-x}+3}{\sqrt{6-x}+m}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng $(-10;10)$ sao cho hàm số đồng biến trên $(-8;5)$?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $t=-\sqrt{6-x}$ vì $x\in (-8;5)$ $\Rightarrow t\in \left( -\sqrt{14};-1 \right)$ và $t=-\sqrt{6-x}$ đồng biến trên $(-8;5)$.
Hàm số trở thành $y=\frac{-(4-m)t+3}{-t+m}$ tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ m \right\}$ $\Rightarrow y'=\frac{m^{2}-4m+3}{(-t+m)^{2}}$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\sqrt{14};-1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m^{2}-4m+3>0 \\ \left[ \begin{array}{l} m\leq -\sqrt{14} \\ m\geq -1 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m\leq -\sqrt{14} \\ -1\leq m<1 \\ m>3 \end{array} \right.$.
$\Rightarrow m=\left\{ -9,-8,-7,-6,-5,-4,-1,0,4,5,6,7,8,9 \right\}$ có 14 giá trị.
Hàm số trở thành $y=\frac{-(4-m)t+3}{-t+m}$ tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ m \right\}$ $\Rightarrow y'=\frac{m^{2}-4m+3}{(-t+m)^{2}}$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\sqrt{14};-1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m^{2}-4m+3>0 \\ \left[ \begin{array}{l} m\leq -\sqrt{14} \\ m\geq -1 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m\leq -\sqrt{14} \\ -1\leq m<1 \\ m>3 \end{array} \right.$.
$\Rightarrow m=\left\{ -9,-8,-7,-6,-5,-4,-1,0,4,5,6,7,8,9 \right\}$ có 14 giá trị.