Bài tập nâng cao · Bài 18
Dạng 4. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 18
(THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số $y=\frac{\cos x-3}{\cos x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{2};\pi \right)$
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện: $\cos x\neq m$. Ta có: $y'=\frac{(-m+3)}{\left( \cos x-m \right)^{2}}\cdot(-\sin x)=\frac{(m-3)}{\left( \cos x-m \right)^{2}}\cdot \sin x$
Vì $x\in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right)\Rightarrow \sin x>0$, $\left( \cos x-m \right)^{2}>0,\ \forall x\in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right):\cos x\neq m$.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{2};\pi \right)$ $\Leftrightarrow y'<0\ \forall x\in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-3<0 \\ \cos x\neq m\ \forall x\in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-3<0 \\ m\notin (-1;0) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m<3 \\ \left[ \begin{array}{l} m\leq -1 \\ m\geq 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0\leq m<3 \\ m\leq -1 \end{array} \right.$.
Chú ý : Tập giá trị của hàm số $y=\cos x,\ \forall x\in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right)$ là $(-1;0)$.
Vì $x\in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right)\Rightarrow \sin x>0$, $\left( \cos x-m \right)^{2}>0,\ \forall x\in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right):\cos x\neq m$.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{2};\pi \right)$ $\Leftrightarrow y'<0\ \forall x\in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-3<0 \\ \cos x\neq m\ \forall x\in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-3<0 \\ m\notin (-1;0) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m<3 \\ \left[ \begin{array}{l} m\leq -1 \\ m\geq 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0\leq m<3 \\ m\leq -1 \end{array} \right.$.
Chú ý : Tập giá trị của hàm số $y=\cos x,\ \forall x\in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right)$ là $(-1;0)$.