Dạng 4. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 17
(THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=x+1+\frac{m}{x-2}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó?
Xem lời giải
Lời giải
• Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ 2 \right\}$.
Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi:
$y'\geq 0,\,\forall x\in D$ $\Leftrightarrow 1-\frac{m}{(x-2)^{2}}\geq 0,\,\forall x\in D$
$\Leftrightarrow m\leq (x-2)^{2},\,\forall x\in D$
Xét hàm số $f(x)=(x-2)^{2}$ ta có:
$f'(x)=2x-4\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=2$
Bảng biến thiên:
Vậy, để hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó thì $m\leq 0$.
