Bài tập nâng cao · Bài 16
Dạng 4. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 16
(THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x)=\frac{1}{5}m^{2}x^{5}-\frac{1}{3}mx^{3}+10x^{2}-(m^{2}-m-20)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Tính tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc $S$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $f'(x)=m^{2}x^{4}-mx^{2}+20x-(m^{2}-m-20)=m^{2}(x^{4}-1)-m(x^{2}-1)+20(x+1)$
$=m^{2}(x-1)(x+1)(x^{2}+1)-m(x-1)(x+1)+20(x+1)$
$=(x+1)\left[ m^{2}(x-1)(x^{2}+1)-m(x-1)+20 \right]$
$f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1 \\ m^{2}(x-1)(x^{2}+1)-m(x-1)+20=0\ (*) \end{array} \right.$
Ta có $f'(x)=0$ có một nghiệm đơn là $x=-1$, do đó nếu $(*)$ không nhận $x=-1$ là nghiệm thì $f'(x)$ đổi dấu qua $x=-1$. Do đó để $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $f'(x)\geq 0,\forall x\in \mathbb{R}$ hay $(*)$ nhận $x=-1$ làm nghiệm (bậc lẻ).
Suy ra $m^{2}(-1-1)(1+1)-m(-1-1)+20=0\Leftrightarrow -4m^{2}+2m+20=0$.
Tổng các giá trị của $m$ là $\frac{1}{2}$.
$=m^{2}(x-1)(x+1)(x^{2}+1)-m(x-1)(x+1)+20(x+1)$
$=(x+1)\left[ m^{2}(x-1)(x^{2}+1)-m(x-1)+20 \right]$
$f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1 \\ m^{2}(x-1)(x^{2}+1)-m(x-1)+20=0\ (*) \end{array} \right.$
Ta có $f'(x)=0$ có một nghiệm đơn là $x=-1$, do đó nếu $(*)$ không nhận $x=-1$ là nghiệm thì $f'(x)$ đổi dấu qua $x=-1$. Do đó để $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $f'(x)\geq 0,\forall x\in \mathbb{R}$ hay $(*)$ nhận $x=-1$ làm nghiệm (bậc lẻ).
Suy ra $m^{2}(-1-1)(1+1)-m(-1-1)+20=0\Leftrightarrow -4m^{2}+2m+20=0$.
Tổng các giá trị của $m$ là $\frac{1}{2}$.