Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 22
Cho $a,b,x>0;a>b$ và $b,x\neq 1$ thoả mãn $\log_{x}\frac{a+2b}{3}=\log_{x}\sqrt{a}+\frac{1}{\log_{b}x^{2}}$. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{2a^{2}+3ab+b^{2}}{(a+2b)^{2}}$.
Xem lời giải
Lời giải
$\log_{x}\frac{a+2b}{3}=\log_{x}\sqrt{a}+\frac{1}{\log_{b}x^{2}}\Leftrightarrow \log_{x}\frac{a+2b}{3}=\log_{x}\sqrt{a}+\log_{x}\sqrt{b}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a+2b=3\sqrt{ab}\Leftrightarrow a^{2}-5ab+4b^{2}=0\Leftrightarrow (a-b)(a-4b)=0\Leftrightarrow a=4b(\text{ do }a>b). \\ P=\frac{2a^{2}+3ab+b^{2}}{(a+2b)^{2}}=\frac{32b^{2}+12b^{2}+b^{2}}{36b^{2}}=\frac{5}{4}. \end{array}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a+2b=3\sqrt{ab}\Leftrightarrow a^{2}-5ab+4b^{2}=0\Leftrightarrow (a-b)(a-4b)=0\Leftrightarrow a=4b(\text{ do }a>b). \\ P=\frac{2a^{2}+3ab+b^{2}}{(a+2b)^{2}}=\frac{32b^{2}+12b^{2}+b^{2}}{36b^{2}}=\frac{5}{4}. \end{array}$